Question

12．如圖所示，真空室內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)狀的α粒子放射源P，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子（不計(jì)重力），速率都相同，ab為P點(diǎn)附近的一條水平直線（P到直線ab的距離PC=L），Q為直線ab上一點(diǎn)，它與P點(diǎn)相距PQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$L（現(xiàn)只研究與放射源P和直線ab同一平面內(nèi)的α粒子的運(yùn)動(dòng)），當(dāng)真空室內(nèi)（直線ab以上區(qū)域）只存在垂直該平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，不同方向發(fā)射的α粒子若能到達(dá)ab直線，則到達(dá)ab直線時(shí)它們動(dòng)能都相等，已知水平向左射出的α粒子也恰好到達(dá)Q點(diǎn)．（α粒子的電荷量為+q，質(zhì)量為m，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）α粒子的發(fā)射速率；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；
（3）當(dāng)僅加上述磁場(chǎng)時(shí)，能到達(dá)直線ab的α粒子所用最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間的比值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)只存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，α粒子由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出α粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出α粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由牛頓第二定律求出α粒子的發(fā)射速率；
（2）當(dāng)只存在勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，α粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合求解勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小、方向；
（3）當(dāng)僅加上述磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)幾何知識(shí)確定出軌跡的圓心角，然后求出時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)α粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R，過(guò)O作PQ的垂線交PQ于A點(diǎn)，如圖所示，

由幾何知識(shí)可得：$\frac{PC}{PQ}=\frac{QA}{QO}$，
代入數(shù)據(jù)可得α粒子軌跡半徑：$R=QO=\frac{5L}{8}$，
洛侖磁力提供向心力：$Bqυ=m\frac{υ^2}{R}$，
解得α粒子發(fā)射速度為：$υ=\frac{5BqL}{8m}$；
（2）真空室只加勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，由α粒子到達(dá)ab直線的動(dòng)能相等，可得ab為等勢(shì)面，電場(chǎng)方向垂直ab向下．
水平向左射出的α粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：
與ab平行方向：$CQ=\frac{L}{2}=υt$，
與ab垂直方向：$PC=L=\frac{1}{2}a{t^2}$，
其中$a=\frac{Eq}{m}$，
解得：$E=\frac{{25qL{B^2}}}{8m}$；
（3）真空室只加磁場(chǎng)時(shí)，圓弧O₁和直線ab相切于D點(diǎn)，α粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，如圖所示．

則：$sinβ=\frac{L-R}{R}$=$\frac{3}{5}$，β=37°，
最大圓心角：γ_max=360°-90°-37°=233°，
最長(zhǎng)時(shí)間：${t_1}=\frac{{{γ_{max}}}}{360°}T$，
圓弧O₂經(jīng)C點(diǎn)，α粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．
則：$sinθ=\frac{{\frac{L}{2}}}{R}$=$\frac{4}{5}$，θ=53°，
最小圓心角：γ_min=2θ=106°，
最短時(shí)間：${t_2}=\frac{{{γ_{min}}}}{360°}T$，
則最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間的比值為：$\frac{t_1}{t_2}=\frac{{{γ_{max}}}}{{{γ_{min}}}}=\frac{233}{106}$（或2.20）；
答：（1）α粒子的發(fā)射速率為$\frac{5BqL}{8m}$；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為$\frac{{25qL{B^2}}}{8m}$，方向：垂直ab向下；
（3）當(dāng)僅加上述磁場(chǎng)時(shí)，能到達(dá)直線ab的α粒子所用最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間的比值為$\frac{233}{106}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的突破口是確定α粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中和勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求解磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．