Question

11．如圖所示，在xoy平面x軸上方的等腰直角三角形OCD內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場區(qū)域I，直角邊長為a，在x軸下方有限范圍內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅱ，區(qū)域Ⅱ的磁場沿x方向足夠?qū)拸V，y軸方向在$\frac{a}{2}$≤y≤0內(nèi)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子以初速度V₀從O點(diǎn)沿OC方向射入?yún)^(qū)域I，由P點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，往偏轉(zhuǎn)后打在x軸上的Q點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$a，0），粒子的重力不計(jì)，求：
（1）磁場區(qū)域I，Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁，B₂
（2）若有一系列初速度大小不同的粒子束從O點(diǎn)沿OC方向射入?yún)^(qū)域I，再射入磁場區(qū)域Ⅱ，求從磁場區(qū)域Ⅱ射出的粒子在下邊界的分布范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，即可根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）當(dāng)粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ和下邊相切時粒子的速度最小，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，得到相切點(diǎn)的坐標(biāo)．當(dāng)粒子和區(qū)域I右邊界相切進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅱ時速度最大，得到粒子Ⅱ區(qū)域圓心坐標(biāo)和半徑，寫出圓方程，即可求得Ⅱ區(qū)域圓弧和下邊界交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)在Ⅰ區(qū)域圓弧半徑為r₁，Ⅱ區(qū)域圓弧半徑為r₂，由幾何關(guān)系得：
r₁=$\frac{a}{2}$，r₂=a
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：B=$\frac{mv}{qr}$
則得：B₁=$\frac{2m{v}_{0}}{aq}$，B₂=$\frac{m{v}_{0}}{aq}$
（2）當(dāng)粒子進(jìn)入Ⅱ區(qū)域和下邊相切時粒子的速度最小，由幾何關(guān)系得：
  r₂-$\frac{a}{2}$=r₂cos45°，
得：r₂=$\frac{a}{2-\sqrt{2}}$
由上題知：r₁=$\frac{1}{2}$r₂=$\frac{a}{2（2-\sqrt{2}）}$
則相切點(diǎn)坐標(biāo)為：x₁=$\sqrt{2}$r₁+r₂cos45°=（$\sqrt{2}$+1）a
當(dāng)粒子和I區(qū)域右邊界相切進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅱ時速度最大，粒子Ⅱ區(qū)域圓心坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$a，$\sqrt{2}$a）
半徑：r₂=2a，則Ⅱ區(qū)域圓方程為：（x-2$\sqrt{2}$a）²+（y-$\sqrt{2}$a）²=4a²；
用y=-$\frac{a}{2}$代入得Ⅱ區(qū)域圓弧和下邊界交點(diǎn)坐標(biāo)為：
x₂=a（$\sqrt{4-（\frac{1}{2}+\sqrt{2}）^{2}}$+2$\sqrt{2}$）
故從磁場區(qū)域Ⅱ射出的粒子在下邊界的分布范圍在：（$\sqrt{2}$+1）a≤x≤a（$\sqrt{4-（\frac{1}{2}+\sqrt{2}）^{2}}$+2$\sqrt{2}$）．
答：（1）磁場區(qū)域I，Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁，B₂分別為$\frac{2m{v}_{0}}{aq}$和$\frac{m{v}_{0}}{aq}$．
（2）從磁場區(qū)域Ⅱ射出的粒子在下邊界的分布范圍在（$\sqrt{2}$+1）a≤x≤a（$\sqrt{4-（\frac{1}{2}+\sqrt{2}）^{2}}$+2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 解決本題要抓住軌跡對應(yīng)的圓心角是90°，由幾何知識求軌跡半徑和相關(guān)范圍．也可以作出粒子的運(yùn)動軌跡直觀進(jìn)行分析．