Question

14．由不同介質(zhì)制成的兩個(gè)半徑均為R的透明四分之一圓柱體I和Ⅱ緊靠在一起，截面如圖所示，圓心為0，頂部交點(diǎn)為D，以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy．紅色光束1從介質(zhì)I底部的A（-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$R，0）點(diǎn)垂直于界面入射；紅色光束2平行于y軸向下射入介質(zhì)Ⅱ，入射點(diǎn)為B且∠BOD=60°．已知透明介質(zhì)I對(duì)紅光的折射率n₁=$\sqrt{2}$，透明介質(zhì)Ⅱ?qū)�紅光的折射率n₂=$\sqrt{3}$．設(shè)光束1經(jīng)柱面反射或折射后與y軸交點(diǎn)和光束2經(jīng)柱體下底面折射后與y軸交點(diǎn)之間的距離為d．求：
①距離d的大��；
②若入射光換為藍(lán)光，則距離d將比上面求得的結(jié)果大還是小？

Answer 1

分析 ①光線1通過玻璃磚后不偏折．光線2在圓柱面上的入射角為60°，根據(jù)折射定律求出折射角，由幾何知識(shí)求出在底面上的入射角，再由折射定律求出折射角，作出光路圖．根據(jù)幾何關(guān)系求解d．
②若入射是藍(lán)光，光線1仍不偏折，由于介質(zhì)對(duì)藍(lán)光的折射率大于介質(zhì)對(duì)紅光的折射率，光線2偏折得更厲害，d更�。�

解答 解：①紅光線1對(duì)介質(zhì) I的全反射臨界角為：C₁=arcsin$\frac{1}{n_1}$=45°
而光線1由A點(diǎn)入射后的入射角i₁=60°＞45°，所以將會(huì)發(fā)生全反射，
反射后恰好交y軸于D點(diǎn)（如圖示；

設(shè)紅光線2在B點(diǎn)發(fā)生的折射的折射角為r₂，由折射定律n₂=$\frac{sini}{sinr}$得：
sinr₂=$\frac{{sin{i_2}}}{n_2}$=$\frac{1}{2}$所以：r₂=30°
光線2再傳播到底部介面時(shí)入射角 i₃=30°
光線2對(duì)介質(zhì) II的全反射臨界角為：C₂=arcsin$\frac{1}{n_2}$=60°，所以不會(huì)發(fā)生全反射．
再由折射定律得：r₃=60°
設(shè)光線2射出后交y軸于P點(diǎn)：OP=$\frac{\frac{1}{2}R}{cos30°}$•tan30°=$\frac{1}{\sqrt{3}}$R•$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$R
所以所求的距離 d=DP=R+$\frac{1}{3}$R=$\frac{4}{3}$R
②由于藍(lán)光的折射率大于紅光的折射率，再由（2）中的相關(guān)規(guī)律可得：
d比上面結(jié)果�。�
答：
①距離d的大小是$\frac{4}{3}$R；
②若入射光換為藍(lán)光，則距離d將比上面求得的結(jié)果�。�

點(diǎn)評(píng) 本題其實(shí)是光的色散問題，關(guān)鍵是正確作出光路圖，運(yùn)用幾何知識(shí)輔助分析．