Question

如圖所示，一質(zhì)量為M的人站在臺(tái)秤上，手拿一個(gè)質(zhì)量為m、懸線長(zhǎng)為R的小球（其中M＞m），在豎直平面內(nèi)使小球做圓周運(yùn)動(dòng)，且小球恰好能通過圓軌道的最高點(diǎn)．求：
（1）小球在圓周運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度；
（2）臺(tái)秤示數(shù)的最大值；
（3）臺(tái)秤示數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：知道小球恰好能通過圓軌道的最高點(diǎn)的臨界條件．
小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)懸線對(duì)人的拉力最大，且方向豎直向下，故臺(tái)秤示數(shù)最大，
根據(jù)機(jī)械能守恒和牛頓第二定律求出拉力在豎直方向的最小值．

解答：解：（1）小球恰好能通過圓軌道的最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒及牛頓第二定律有：
mg=m

υ 2 0

R

其中υ₀表示小球在圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度       

mυ2

2

=

mυ02

2

+2mgR
由此得小球通過最低點(diǎn)時(shí)的速度，亦即最大速度為 υ=

5gR

（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)懸線對(duì)人的拉力最大，且方向豎直向下，故臺(tái)秤示數(shù)最大，
小球通過最低點(diǎn)時(shí)，據(jù)牛頓第二定律有T-mg=

mυ2

R

解得T=6mg
所以臺(tái)秤的最大示數(shù)為F=（M+6m）g
（3）當(dāng)小球處于如圖所示狀態(tài)時(shí)，

設(shè)其速度為v₁，由機(jī)械能守恒有

mυ12

2

=

mυ02

2

+mgR(1-cosθ)
由牛頓第二定律有：T+mgcosθ=

mυ12

R

解得懸線拉力     T=3mg（1-cosθ）
其分力T_y=Tcosθ=3mgcosθ-3mgcos²θ
當(dāng)cosθ=

1

2

，即θ=60°時(shí)，
臺(tái)秤的最小示數(shù)為Fmin=Mg-Ty=Mg-

3

4

mg．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)物體進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律列出力與力的關(guān)系，根據(jù)題目的條件中找到臨界狀態(tài)．
對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)的受力問題，我們要找出向心力的來(lái)源．