Question

3．某行星的質(zhì)量是地球的6倍，半徑是地球的1.5倍，地球的第一宇宙速度約為8m/s，地球表面處的重力加速度為10m/s²，此行星的第一宇宙速度約為32 m/s，此行星表面處的重力加速度為$\frac{80}{3}$ m/s²．

Answer 1

分析 本題采用比例法求解．根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，得到此行星表面處的重力加速度與地球表面處的重力加速度的比值，再求得行星表面處的重力加速度．再由v=$\sqrt{gR}$求出行星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度的比值，從而求得行星的第一宇宙速度．

解答 解：在星球表面上，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以行星表面處的重力加速度與地球表面處的重力加速度之比為：$\frac{{g}_{行}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{G{M}_{行}}{{R}_{行}^{2}}}{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{6}{1}$×$（\frac{1}{1.5}）^{2}$=$\frac{8}{3}$
則行星表面處的重力加速度為：g_行=$\frac{8}{3}$g_地=$\frac{80}{3}$m/s²．
由mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：v=$\sqrt{gR}$
可得，行星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為：$\frac{{v}_{行}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{{g}_{行}{R}_{行}}}{\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}×6}$=4，則得此行星的第一宇宙速度為：v_行=4v_地=32km/s
故答案為：32，$\frac{80}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是掌握萬(wàn)有引力等于重力得到星球表面重力加速度的表達(dá)式，運(yùn)用比例法研究?jī)蓚�(gè)星球的第一宇宙速度和表面重加速度關(guān)系．