Question

2．如圖所示，一束平行單色光照射到半圓形玻璃磚的側平面上，光線與平面的夾角為45°，從圓心O入射的光線經折射后剛好射到圓弧面上的P點，圓弧的半徑為R，P點到平面MN的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，求：
①圓弧面上被光照射部分的弧長．
②圓弧面上有光射出部分的弧長．

Answer 1

分析 ①先根據幾何知識求出折射角，再由幾何關系求圓弧面上被光照射部分的弧長．
②由折射定律求出折射率．在圓弧面上有光射出部分的邊緣光線恰好發(fā)生全反射，由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角，再結合幾何關系求圓弧面上有光射出部分的弧長．

解答 解：①設光線在MN面上折射角為r．
由幾何知識得：sin∠PON=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠PON=60°
所以 r=30°
從M射入的光線折射到A點，圓弧面上被光照射部分是AN．
由幾何關系可得：∠AOM=60°
所以圓弧面上被光照射部分的弧長 s₁=$\widehat{AN}$=$\frac{2}{3}π$R
②根據折射定律 n=$\frac{sini}{sinr}$得
  n=$\frac{sin45°}{sin30°}$=$\sqrt{2}$
設光線恰好在圓弧面上E點和F點發(fā)生全反射．臨界角為C．
則 sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C=45°
則圓弧面上有光射出部分的弧長 s₂=$\widehat{EF}$．
由幾何關系有：
∠EOM=180°-60°-45°=75°
∠FON=180°-120°-45°=15°
則∠EOF=180°-∠EOM-∠FON=90°
所以 s₂=$\frac{π}{2}$R
答：
①圓弧面上被光照射部分的弧長是$\frac{2}{3}π$R．
②圓弧面上有光射出部分的弧長是$\frac{π}{2}$R．

點評 本題的關鍵要理解光的全反射條件和臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，運用數(shù)學幾何知識求相關的角度和長度，結合折射定律研究．