Question

把一只乒乓球從胸前的某個(gè)高度釋放，落到堅(jiān)硬的水泥地上，反彈后可以達(dá)到接近胸前釋放時(shí)的高度，但無論如何是不會(huì)超過這個(gè)高度的．同樣取一只剛性很好的金屬球，從相同高度釋放，反彈后也不會(huì)跳得更高，這是由能量守恒定律決定的．如果如圖所示那樣，把乒乓球放在金屬球上面，讓它們從原來高度落下，落地反彈以后，乒乓球會(huì)跳多高呢？也許你會(huì)感到吃驚，乒乓球比單獨(dú)下落跳得更高．這就是著名的超級(jí)球問題！
若二球從高處釋放時(shí)球心連線處于豎直方向，且金屬球與地、球與球之間的相互作用均可看作是彈性的．則請(qǐng)結(jié)合所學(xué)的物理知識(shí)通過必要的計(jì)算，求出此時(shí)乒乓球能跳的高度大約是原高度的多少倍？
提示：
（1）可認(rèn)為金屬球質(zhì)量遠(yuǎn)大于乒乓球質(zhì)量；
（2）兩球在運(yùn)動(dòng)過程中均忽略空氣阻力．

Answer 1

分析：單個(gè)球下落落地后，由于機(jī)械能守恒仍上升到原來的高度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到球從h處落地時(shí)速度大小v與高度h的關(guān)系式．當(dāng)兩球一起下落后，金屬球與地面發(fā)生碰撞后以等大速率與乒乓球發(fā)生相互作用，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式，求出作用后乒乓球的速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出兩球發(fā)生相互作用后乒乓球上升的最大高度．即可得解．

解答：解：設(shè)金屬球、乒乓球質(zhì)量分別為M、m，球從離地高度h處下落，落地時(shí)速度大小為v，則由機(jī)械能守恒可知，單個(gè)球下落后經(jīng)地面反彈后仍回到高h(yuǎn)處，
且有 v²=2gh  ①
當(dāng)兩球一起下落后，金屬球與地面發(fā)生碰撞后以等大速率與乒乓球發(fā)生相互作用，設(shè)相互作用后金屬球、乒乓球的速度分別為v₁、v₂，則
  由動(dòng)量守恒，有 Mv-mv=Mv₁+mv₁  ②
由題中已知條件可知，機(jī)械能守恒，則有：

1

2

Mv2+

1

2

mv2=

1

2

M

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

 ③
聯(lián)立②③解之得，二球相互作用后乒乓球速度為：
v₂=

3M-m

M+m

v≈3v （∵M(jìn)＞＞m） ④
設(shè)乒乓球與金屬球發(fā)生相互作用后上升的最大高度為H，則有
 

v

2 2

=2gH  ⑤
聯(lián)立①④⑤解之得：H=9h
即二球一起下落后乒乓球能跳的高度大約是原來高度的9倍．
答：二球一起下落后乒乓球能跳的高度大約是原來高度的9倍．

點(diǎn)評(píng)：本題要有足夠的耐心分析兩球的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)題意，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求解兩球碰撞后的速度是關(guān)鍵，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式或機(jī)械能守恒求解最大高度．