Question

【題目】如圖甲所示，帶正電的粒子以水平速度v0，從平行金屬板MN間中線OO′連續(xù)射入電場中。極板MN間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓UMN，電場只存于MN板之間。緊鄰金屬板右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B，分界線為CD，EF為屏幕。金屬板MN間距為d，長度為L，磁場B的寬度為d。已知：B=5.0×10-3T，L=d=0.20m，每個(gè)帶正電粒子的速度v0=1.0×105m/s，比荷q/m=1.0×108C/kg，重力忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過電場區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場可視作是恒定不變的。試求：

（1）t=0時(shí)刻射入電場的帶電粒子，進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動的半徑；

（2）當(dāng)電壓UMN為多少時(shí)，粒子恰好從下極板邊緣進(jìn)入磁場；

（3）帶電粒子打在屏幕EF上的長度。[第（3）問結(jié)果保留兩位有效數(shù)字]

Answer 1

【答案】（1）0.20m（2）100V（3）0.38m

【解析】

（1）t=0時(shí)刻射入電場的帶電粒子不被加速，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)

代入數(shù)據(jù)解得：

（2）設(shè)兩板間電壓為U1，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場，則有：

時(shí)間為：

位移時(shí)間關(guān)系為：

解得：U1=100V

（3）帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場時(shí)，速度最大，設(shè)最大速度為vmax，則有：

則：

又：

可得：

帶電粒子射出電場時(shí)的速度最大，在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑最大，打在屏幕上的位置最低。設(shè)帶電粒子以最大速度射出電場，進(jìn)入磁場中做圓周運(yùn)動打在屏幕上的位置為F，運(yùn)動徑跡如圖中曲線Ⅱ所示。由數(shù)學(xué)知識可得，運(yùn)動徑跡的圓心必落在屏幕上，如圖中Q點(diǎn)所示：

并且Q點(diǎn)必與M板在同一水平線上。則

由第（1）問計(jì)算可知，t=0時(shí)刻射入電場的粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑最小：rmin=d=0.2m

徑跡恰與屏幕相切，設(shè)切點(diǎn)為E，E為帶電粒子打在屏幕上的最高點(diǎn)，則=rmin=0.2m

故帶電粒子打在屏幕EF上的長度為