Question

13．我們一般認(rèn)為，飛船在遠(yuǎn)離星球的宇宙深處航行時(shí)，其它星體對飛船的萬有引力作用很微弱，可忽略不計(jì)．此時(shí)飛船將不受外力作用而做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
設(shè)想有一質(zhì)量為M的宇宙飛船，正以速度v₀在宇宙中飛行．飛船可視為橫截面積為S的圓柱體（如圖1所示）．某時(shí)刻飛船監(jiān)測到前面有一片塵埃云．

（1）已知在開始進(jìn)入塵埃云的一段很短的時(shí)間△t內(nèi)，飛船的速度減小了△v，求這段時(shí)間內(nèi)飛船受到的阻力大�。�
（2）已知塵埃云分布均勻，密度為ρ．
a．假設(shè)塵埃碰到飛船時(shí)，立即吸附在飛船表面．若不采取任何措施，飛船將不斷減速．通過監(jiān)測得到飛船速度的倒數(shù)“$\frac{1}{v}$”與飛行距離“x”的關(guān)系如圖2所示．求飛船的速度由v₀減小1%的過程中發(fā)生的位移及所用的時(shí)間．
b．假設(shè)塵埃與飛船發(fā)生的是彈性碰撞，且不考慮塵埃間的相互作用．為了保證飛船能以速度v₀勻速穿過塵埃云，在剛進(jìn)入塵埃云時(shí)，飛船立即開啟內(nèi)置的離子加速器．已知該離子加速器是利用電場加速帶電粒子，形成向外發(fā)射的高速（遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于飛船速度）粒子流，從而對飛行器產(chǎn)生推力的．若發(fā)射的是一價(jià)陽離子，每個(gè)陽離子的質(zhì)量為m，加速電壓為U，元電荷為e．在加速過程中飛行器質(zhì)量的變化可忽略．求單位時(shí)間內(nèi)射出的陽離子數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由加速度公式可求得加速度，再由牛頓第二定律可求得飛船受到的阻力；
（2）a、對于非彈性碰撞，兩物體碰后粘在一起，由動(dòng)量守恒定律及圖旬可求得位移和時(shí)間；
b、對于彈性碰撞，兩物體碰后動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律可求得粒子的速度，再對粒子由動(dòng)量定理可求得粒子數(shù)．

解答 解：（1）飛船的加速度a=$\frac{△v}{△t}$；
根據(jù)牛頓第二定律有：
f=Ma；
則飛船受到的阻力f=M$\frac{△v}{△t}$；
（2）a．對飛船和塵埃，設(shè)飛船的方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒定律有：
Mv₀=（M+ρsx）$\frac{99}{100}$v₀
解得：x=$\frac{M}{99ρs}$
由$\frac{1}{v}$-x圖象可得：
t=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{v}_{0}}$+$\frac{100}{99{v}_{0}}$）x
解得
t=$\frac{199M}{19602{v}_{0}ρs}$
b．設(shè)在很短時(shí)間△t內(nèi)，與飛船碰撞的塵埃的質(zhì)量為m′，所受飛船的作用力為f′
飛船與塵埃發(fā)生彈性碰撞
由動(dòng)量守恒定律可知：
Mv₀=Mv₁+m′v₂
由機(jī)械能守恒定律可知；
$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$m′v₂²
解得：v₂=$\frac{2M}{M+m′}$v0
由于M＞＞m′，所以碰撞后塵埃的速度v₂=2v₀
對塵埃，根據(jù)動(dòng)量定理可得：
f′△t=m′v₂
其中m′=ρsv₀△t
則飛船所受到的阻力f′=2ρsv²₀
設(shè)一個(gè)離子在電場中加速后獲得的速度為v．
根據(jù)動(dòng)能定理可得；
eU=$\frac{1}{2}$mv²
設(shè)單位時(shí)間內(nèi)射出的離子數(shù)為n
在很短的時(shí)間△t內(nèi)，根據(jù)動(dòng)量定理可得：
F△t=n△tmv
則飛船所受動(dòng)力F=nmv
飛船做勻速運(yùn)動(dòng)
F=f′
解得：n=$\sqrt{\frac{2}{eUm}}ρs{v}_{0}^{2}$
答：
（1）這段時(shí)間內(nèi)飛船受到的阻力大小為M$\frac{△v}{△t}$；
（2）a．飛船的速度由v₀減小1%的過程中發(fā)生的位移為$\frac{M}{99ρs}$；所用的時(shí)間$\frac{199M}{19602{v}_{0}ρs}$．
b．單位時(shí)間內(nèi)射出的陽離子數(shù)$\sqrt{\frac{2}{eUm}}ρs{v}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量定理及動(dòng)能定理等內(nèi)容，要注意分析物體過程，明確彈性碰撞和非彈性碰撞的區(qū)別；同時(shí)注意粒子在電場中的加速應(yīng)用動(dòng)能定理求解；本題過程較復(fù)雜，要求能認(rèn)真審題，細(xì)心解答．