Question

6．有一禮花炮豎直向上發(fā)射炮彈，炮彈的質(zhì)量M=6.0kg（內(nèi)含炸藥的質(zhì)量可以不計），射出的初速度v₀=60m/s，若炮彈到達最高點時爆炸為沿水平方向運動的兩片，其中一片的質(zhì)量m=4.0kg．現(xiàn)要求這一片不能落到以發(fā)射點為圓心，以R=600m為半徑的圓周范圍內(nèi)．試求：（g取10m/s²，不計空氣阻力，取地面為零勢能面）
（1）炮彈能上升的高度H為多少？
（2）爆炸后，質(zhì)量為m的彈片的最小速度是多大？
（3）爆炸后，兩彈片的最小機械能是多少？

Answer 1

分析 （1）不計空氣阻力，炮彈上升的過程中機械能守恒，據(jù)此列式求解H．
（2）爆炸后，質(zhì)量為m的彈片做平拋運動，結(jié)合題意的要求，根據(jù)平拋運動的規(guī)律求解彈片的最小速度．
（3）爆炸過程遵守動量守恒，由動量守恒定律求出另一彈片爆炸后瞬間的速度，再求解機械能．

解答 解：（1）取地面為參考平面，由機械能守恒定律得
  MgH=$\frac{1}{2}$Mv₀²，得 H=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{6{0}^{2}}{20}$m=180 m．
（2）爆炸后，質(zhì)量為m的彈片做平拋運動，由平拋運動知識得
  H=$\frac{1}{2}$gt²，R=vt，
可得最小速度  v=R$\sqrt{\frac{g}{2H}}$=600×$\sqrt{\frac{10}{2×180}}$m/s=100 m/s．
（3）由題意知另一彈片質(zhì)量為
  m′=M-m=2.0 kg，
設(shè)爆炸后瞬間此彈片速度為v′，取爆炸后，質(zhì)量為m的彈片速度方向為正方向，由動量守恒定律得
  mv-m′v′=0，v′=$\frac{mv}{v′}$=200 m/s
兩彈片的機械能為
E=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$m′v′²+（m+m′）gH=7.08×10⁴ J．
答：
（1）炮彈能上升的高度H為180m．
（2）爆炸后，質(zhì)量為m的彈片的最小速度是100 m/s．
（3）爆炸后，兩彈片的最小機械能是7.08×10⁴ J．

點評 解決本題的關(guān)鍵要明確此題涉及三個過程，能準(zhǔn)確把握每個過程的規(guī)律，特別爆炸過程，由于外力遠小于內(nèi)力，動量守恒．求機械能時，不能將重力勢能遺漏．