Question

11．打樁機(jī)的重垂每次下落的高度差相同，鐵樁開始在地表面沒有進(jìn)入泥土，第一次重垂落下將鐵樁打入泥土的深度為20cm，已知泥土對于鐵樁的阻力與進(jìn)入泥土的深度成正比．問：
（1）打擊第二次鐵樁進(jìn)入泥土的深度？
（2）打擊第六次鐵樁進(jìn)入泥土的深度？
（3）打擊第n次鐵樁進(jìn)入泥土的深度？

Answer 1

分析 （1）對第一次打擊和第二次打擊分別運(yùn)用動能定理列式，求功時用的力平均值．
（2）再對第三次打擊，運(yùn)用動能定理列式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到打擊第六次鐵樁進(jìn)入泥土的深度．
（3）運(yùn)用歸納法，得到打擊第n-1次，第n次鐵樁進(jìn)入泥土的深度．

解答 解：第一解法：設(shè)打擊第一次鐵樁泥土的深度為l₁=20×10^-2m=0.2m，打擊兩次鐵樁進(jìn)入泥土的深度為l₂，打擊三次鐵樁泥土的深度為l₃，…；泥土對鐵樁的阻力為f=kl；每打擊一次由重垂勢能轉(zhuǎn)化給鐵樁的動能對泥土所做的功為W，根據(jù)題目所給定的條件，每次打擊都是相同的．由動能定理，則可有下列各式：
（1）打擊第一次鐵樁時，有：W=$\frac{1}{2}$f₁l₁=$\frac{1}{2}$kl₁²
有：l₁=$\sqrt{\frac{2W}{k}}$=0.2m…①
打擊二次鐵樁時，有：2W=$\frac{1}{2}$f₂l₂=$\frac{1}{2}$kl₂²
有：l₂=2$\sqrt{\frac{W}{k}}$=0.2$\sqrt{2}$m…②
所以，打擊第二次鐵樁進(jìn)入泥土的深度為：
△l₁=l₂-l₁=0.2（$\sqrt{2}$-1）m=8.28×10^-2m．
（2）由前面的①②式我們可以得到：
  3W=$\frac{1}{2}$f₃l₃=$\frac{1}{2}$kl₃² 有：l₃=$\sqrt{\frac{6W}{k}}$=0.2$\sqrt{3}$m…③
（n-1）W=$\frac{1}{2}$f_（n-1）l_（n-1）=$\frac{1}{2}$kl_n-1² 有：l_（n-1）=$\sqrt{\frac{2（n-1）W}{k}}$=0.2$\sqrt{n-1}$m…④
nW=f_n l_n=k l_n$_n^2$   有：l_n=$\sqrt{\frac{2nW}{k}}$=0.2$\sqrt{n}$  m…⑤
得到：△l_n=（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）l₁…⑥
由（6）式，代入問題②的條件有：△l₆=0.2×（$\sqrt{6}$-$\sqrt{6-1}$）m=4.27×10^-2m
所以，打擊第六次鐵樁進(jìn)入泥土的深度為：4.27×10^-2m．
（3）同理對于第n次打擊鐵樁進(jìn)入泥土的深度△l_n=（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）l₁=0.2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$） m
第二解法：根據(jù)題意，鐵樁每次對泥土所做的功相同，鐵樁所受阻力是與進(jìn)入的深度成正比的，則阻力是f-l圖中通過原點(diǎn)的一條斜線，如圖1所示．斜線與l 軸所圍成的“面積”，就是阻力所做的功，“W”是每打擊一次鐵樁克服阻力所做的功．根據(jù)相似直角三角形的性質(zhì)，其面積之比等于某一直角邊的平方比．則打擊一次、打擊兩次、打擊三次、…打擊n次鐵樁進(jìn)入泥土的深度之比為：

l₁：l₂：l₃：…l_n-1：l_n=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$…$\sqrt{n-1}$：$\sqrt{n}$．
所以，得到打擊第二次鐵樁進(jìn)入泥土的深度為：
△l₁=l₂-l₁=（$\sqrt{2}$-1）l₁=（$\sqrt{2}$-1）20×10^-2m=8.28×10^-2m．
同理，打擊第六次鐵樁進(jìn)入泥土的深度為：△l₆=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$）20×10^-2m=4.27×10^-2m
第n次打擊鐵樁進(jìn)入泥土的深度為：△l_n=（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）l₁．
答：（1）打擊第二次鐵樁進(jìn)入泥土的深度是8.28×10^-2m．
（2）打擊第六次鐵樁進(jìn)入泥土的深度是4.27×10^-2m．
（3）打擊第n次鐵樁進(jìn)入泥土的深度是0.2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）m．

點(diǎn)評 本題所考查的是應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題的能力．用數(shù)學(xué)圖象法解答打樁問題，不僅使解答過程簡化，且從圖象中反映的物理量的關(guān)系也很清楚，這樣有利用理解題目的物理意義．