Question

(22分) 如圖所示，水平放置的橫截面積為S的帶有活塞的圓筒形絕熱容器中盛有1mol 的理想氣體．其內(nèi)能，C為已知常量，T為熱力學(xué)溫度．器壁和活塞之間不漏氣且存在摩擦，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等且皆為F．圖中r為電阻絲，通電時可對氣體緩慢加熱．起始時，氣體壓強與外界大氣壓強p₀相等，氣體的溫度為T₀．現(xiàn)開始對r通電，已知當(dāng)活塞運動時克服摩擦力做功所產(chǎn)生熱量的一半被容器中的氣體吸收．若用Q表示氣體從電阻絲吸收的熱量，T表示氣體的溫度，試以T為縱坐標(biāo)，Q為橫坐標(biāo)，畫出在Q不斷增加的過程中T和Q的關(guān)系圖線．并在圖中用題給的已知量及普適氣體常量R標(biāo)出反映圖線特征的各量（不要求寫出推導(dǎo)過程）．

Answer 1

答案如圖所示．

附計算過程：

       電阻通電后對氣體緩慢加熱，氣體的溫度升高，壓強增大，活塞開始有向外運動的趨勢，但在氣體對活塞的作用力尚未達到外界大氣對活塞的作用力和器壁對活塞的最大靜摩擦之和以前，活塞不動，即該過程為等容過程．因氣體對外不做功，根據(jù)熱力學(xué)第一定律可知，在氣體溫度從T₀升高到T的過程中，氣體從電阻絲吸收的熱量， 

       (1)

此過程將持續(xù)到氣體對活塞的作用力等于外界大氣對活塞的作用力和器壁對活塞的最大靜摩擦之和．若用T₁表示此過程達到末態(tài)的溫度，p表示末態(tài)的壓強，Q₁表示此過程中氣體從電阻絲吸收的熱量，由等容過程方程有

       (2)

由力的平衡可知

       (3)

由（2）、（3）兩式可得

        (4)

代入(1)式得

         (5)

由以上討論可知，當(dāng)時，T與Q的關(guān)系為

                         (6)

在圖中為一直線如圖中所示，其斜率

           (7)

直線在T軸上的截距等于T₀，直線ab的終點b的坐標(biāo)為（T₁，Q₁）．

當(dāng)電阻絲繼續(xù)加熱，活塞開始向外運動以后，因為過程是緩慢的，外界大氣壓及摩擦力皆不變，所以氣體的壓強不變，仍是p，氣體經(jīng)歷的過程為等壓過程．在氣體的體積從初始體積V₀增大到V，溫度由T₁升高到T的過程中，設(shè)氣體從電阻絲吸收的熱量為，活塞運動過程中與器壁摩擦生熱的一半熱量為q，由熱力學(xué)第一定律可知

       (8)

q可由摩擦力做功求得，即

       (9)

代入（8）式得

       (10)

由狀態(tài)方程式可知

                            (11)

將（11）式和（4）式代入（10）式，得

即

       （12）

從開始對氣體加熱到氣體溫度升高到T( >T₁)的過程中，氣體從電阻絲吸收的總熱量

       （13）

把（13）式代入到（12）式，并注意到（4）式和（5），得

（14）

由此可知，當(dāng)時，T與Q的關(guān)系仍為一直線，此直線起點的坐標(biāo)為，；斜率為

       （15）

       在圖中，就是直線bd，當(dāng)熱量Q從零開始逐漸增大，氣體溫度T 將從起始溫度T₀沿著斜率為K_ab的直線上升到溫度為T₁的b點，然后沿著斜率為K_bd的直線上升，如圖所示．