Question

10．如圖所示，豎直放置的足夠長的絕緣板PQ右方的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=5.0×10^-2T，MN是與PQ平行的磁場(chǎng)的右邊界，d=0.2m，在PQ上的小孔O處有一放射源，放射源沿紙面向磁場(chǎng)中各個(gè)方向均勻的射出速率v=2×10⁶m/s的某種帶正電的粒子，粒子的質(zhì)量m=1.6×10^-27kg，所帶電荷量q=3.2×10^-19C，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用．
（1）求帶電粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑；
（2）求粒子的周期和從邊界MN射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間；
（3）若OQ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$m，且QN是磁場(chǎng)的下邊界，則在某段時(shí)間內(nèi)從放射源共射出n個(gè)粒子中，有多少個(gè)粒子是從磁場(chǎng)的下邊界QN射出的？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求解軌跡半徑．
（2）因?yàn)榱Ｗ舆\(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同，故弦最短時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，根據(jù)幾何關(guān)系得到最短的弦的大小，再求解最短時(shí)間．
（3）畫出粒子恰好能從磁場(chǎng)的下邊界射出的運(yùn)動(dòng)軌跡，由數(shù)學(xué)知識(shí)得到圓心角，再求解即可．

解答 解：（1）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{1.6×1{0}^{-27}×2×1{0}^{6}}{3.2×1{0}^{-19}×5×1{0}^{-2}}$m=0.2m
（2）因?yàn)榱Ｗ舆\(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同，故弦最短時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，顯然最短的弦的大小為d，易得此時(shí)的圓心角θ=$\frac{π}{3}$
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
最短時(shí)間t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{T}{6}$=$\frac{π}{3}$×10^-7s
（3）如圖中1軌跡所示，當(dāng)速度與0P的夾角θ=90°時(shí)，恰好能從磁場(chǎng)的下邊界射出
當(dāng)粒子恰好從Q點(diǎn)射出時(shí)，如圖中2軌跡所示設(shè)此時(shí)的圓心角為α

則sin$\frac{α}{2}$=$\frac{\frac{OQ}{2}}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
此時(shí)粒子從O點(diǎn)射出時(shí)的速度方向與OP的夾角為α=120°，故θ=120°
△θ=120°-90°=30°
故從磁場(chǎng)的下邊界QN射出的粒子數(shù)為$\frac{30°}{180°}$n=$\frac{n}{6}$
答：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑為0.2m；
（2）粒子的周期和從邊界MN射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間是$\frac{π}{3}$×10^-7s；
（3）若OQ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$m，且QN是磁場(chǎng)的下邊界，則在某段時(shí)間內(nèi)從放射源共射出n個(gè)粒子中，有$\frac{n}{6}$個(gè)粒子是從磁場(chǎng)的下邊界QN射出的．

點(diǎn)評(píng) 本題中帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的類型，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)和牛頓第二定律研究磁場(chǎng)中軌跡問題．