Question

游樂場(chǎng)的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來(lái)。我們可以把它抽象成如圖所示的由曲面軌道和圓軌道平滑連接的模型（不計(jì)摩擦和空氣阻力）。若質(zhì)量為m的小球從曲面軌道上的P點(diǎn)由靜止開始下滑，并且可以順利通過半徑為R的圓軌道的最高點(diǎn)A。已知P點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差h=3R，求：

（1）小球通過最低點(diǎn)B時(shí)速度有多大？
（2）小球通過B點(diǎn)時(shí)受到圓軌道支持力有多大？
（3）若小球在運(yùn)動(dòng)中需要考慮摩擦和空氣阻力，當(dāng)小球從P點(diǎn)由靜止開始下滑，且剛好通過最高點(diǎn)A，則小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功是多少？

Answer 1

（1）
（2）
（3）

（1）設(shè)小球通過B點(diǎn)的速度為v₁，在不考慮摩擦和空氣阻力情況下，由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒：

解得，小球通過B點(diǎn)的速度:

（2）設(shè)小球在B點(diǎn)受到軌道的支持力為F，由牛頓第二定律：

代入數(shù)據(jù)，解得：       
（3）在考慮摩擦和空氣阻力情況下，當(dāng)小球剛好通過A點(diǎn)時(shí)，
由牛頓第二定律得:

整理得小球剛好通過A點(diǎn)時(shí)的速度為：    
設(shè)小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中，重力做功為W_G，克服阻力做功為，由動(dòng)能定理：  
有：              
由題意可知：       
聯(lián)立解得：