Question

3．有一只飛船繞地球運行，其軌道為橢圓，近地點約300km，遠地點約1700km，在遠地點經過變軌變成1700km的圓形軌道．經過11天飛行，飛船調整姿態(tài)后開始返回，返回艙距地面100km時，以8000m/s的速度進入大氣層，當時返回艙與大氣層產生劇烈摩擦，外表形成一團火球，即進入黑障區(qū)域．返回艙距地面40km時，黑障消失，此時返回艙的速度已降至200m/s．現(xiàn)提供以下常數(shù)：g=10m/s²，地球半徑R=6400km，G=6.67×10^-11Nm²kg^-2，地球質量M=6.0×10²⁴kg．請求解下列問題：
（1）飛船在1700km圓軌道飛行時的速度v₁及周期T₁；
（2）飛船在橢圓軌道上飛行的周期T₂；
（3）假設飛船加入黑障區(qū)域時沿直線運動，其加速度平均值為4g，試求飛船在黑障區(qū)域經過的路程及時間．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力求出飛船和第一宇宙速度的大小關系，根據重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小，從而求出飛船的速度大小，根據周期公式求出飛船的周期．
（2）根據開普勒第三定律求出飛船在橢圓軌道上的周期．
（3）根據速度位移公式求出經過的路程，根據速度時間公式求出運動的時間．

解答 解：（1）設飛船在近地軌道的速度為v₀，
則根據萬有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，①
$G\frac{M{m}_{1}}{（R+h）^{2}}={m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R+h}$，②
$\frac{②}{①}$得，$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}=\sqrt{\frac{R}{R+h}}$ 
因為${m}_{0}g={m}_{0}\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
則${v}_{0}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×6400×1{0}^{3}}m/s=8km/s$．
解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{6400}{8100}}×8=\frac{8}{9}×8km/s=\frac{64}{9}km/s$≈7.1km/s．
飛船的周期${T}_{1}=\frac{2π（R+h）}{{v}_{1}}$=$\frac{2×3.14×8100×1{0}^{3}}{7.1×1{0}^{3}}=7153s$．
（2）由開普勒第三定律得，$\frac{{{R}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}=\frac{{{R}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$，
橢圓的軌道半徑${R}_{2}=\frac{300+1700+6400×2}{2}km=7400km$，
解得${T}_{2}=\sqrt{\frac{{{R}_{2}}^{3}}{{{R}_{1}}^{3}}×{{T}_{1}}^{2}}$，代入數(shù)據解得T₂=6245s．
（3）根據速度位移公式得，$-2aL={{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}$，
解得L=$\frac{800{0}^{2}-20{0}^{2}}{2×40}=8×1{0}^{5}m$，
運動的時間t=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{4g}=\frac{8000-200}{40}=195s$．
答：（1）飛船在1700km圓軌道飛行時的速度為7.1km/s，周期為7153s．
（2）飛船在橢圓軌道上飛行的周期為6245s．
（3）飛船在黑障區(qū)域經過的路程為8×10⁵m，運動的時間為195s．

點評 本題考查了萬有引力定律理論與開普勒定律和運動學公式的綜合運用，掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．