Question

4．如圖所示，用一塊長(zhǎng)L₁=1.0m的木板在墻和桌面間架設(shè)斜面，桌面離地高H=0.8m，桌面長(zhǎng)L₂=1.5m，斜面和水平桌面間的傾角θ可以在0-60°之間調(diào)節(jié)后固定．將質(zhì)量m=0.2kg的小物塊從斜面頂端無(wú)初速釋放，物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.05，物塊和桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂，忽略物塊在斜面和桌面交接處的能量損失．（已知最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）
（1）當(dāng)物塊剛好能從斜面開(kāi)始下滑時(shí)，求斜面的傾角θ； （用正切值表示）
（2）當(dāng)θ角增大到37°時(shí)，物塊下滑后恰能停在桌面邊緣，求物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂；
（3）若將（2）中求出的μ₂作為已知條件，繼續(xù)增大θ角，求物塊落地點(diǎn)與墻面的距離最大值S_總，及此時(shí)斜面的傾角θ'．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物塊剛好能從斜面開(kāi)始下滑時(shí)，物體的重力沿斜面下滑的分力等于最大靜摩擦力，列出等式即可求解斜面的傾角θ；
（2）對(duì)全過(guò)程由動(dòng)能定理進(jìn)行分析，則可求得動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂；
（3）物體離開(kāi)桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到水平距離的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求得最大距離S_總，及此時(shí)斜面的傾角θ′．

解答 解：（1）當(dāng)物塊剛好能從斜面開(kāi)始下滑時(shí)，則有 G_斜=f_m；
即 mgsinθ=μ₁ mgcosθ 
得 tanθ=μ₁=0.05
故 θ=arctg0.05
（2）從頂端無(wú)初速釋放開(kāi)始直至恰好運(yùn)動(dòng)到桌面末端 根據(jù)動(dòng)能定理 W_合=△E_K得：
 mgL₁sin37°-μ₁ mgcos37°L₁-μ₂ mg（L₂-L₁cos37°）=0
解得：μ₂=0.8
（3）從頂端無(wú)初速釋放開(kāi)始直至運(yùn)動(dòng)到桌面末端 根據(jù)動(dòng)能定理得：
 mgL₁sinθ-μ₁mgcosθL₁-μ₂ mg（L₂-L₁cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入得：sinθ+0.75 cosθ-1.2=$\frac{{v}^{2}}{20}$
變形得 $\sqrt{1+0.7{5}^{2}}$（sinθcosα+sinαcosθ）-1.2=$\frac{{v}^{2}}{20}$，式中tanα=0.75，α=37°
即$\frac{5}{4}$sin（θ+37°）-1.2=$\frac{{v}^{2}}{20}$
則當(dāng)θ=53°時(shí)，$\frac{{v}^{2}}{20}$有最大值，解得v的最大值為：v_m=1m/s
對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有：
 H=$\frac{1}{2}$gt²；
解得：t=0.4s；
平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離最大為：x₁=v_mt=0.4m
故物塊落地點(diǎn)與墻面的距離最大值為：S_總=L₂+x₁=1.9m
答：（1）當(dāng)物塊剛好能從斜面開(kāi)始下滑時(shí)，斜面的傾角θ為arctg0.05．
（2）當(dāng)θ角增大到37°時(shí)，物塊下滑后恰能停在桌面邊緣，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂是0.8．
（3）物塊落地點(diǎn)與墻面的距離最大值S_總是1.9m，此時(shí)斜面的傾角θ是53°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，要正確分析物塊受力情況，運(yùn)用函數(shù)法得到物體離開(kāi)水平面時(shí)的速度與斜面傾角的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值是解題的關(guān)鍵．