Question

15．無限長通電螺線管內(nèi)部的磁場可認(rèn)為是勻強(qiáng)磁場（外圍磁場可視為零）其大小為B=kI（I為螺線管所通電流，不同的螺線管，k值不同）．現(xiàn)有兩個螺線管1和2，間軸放置（軸在O處），如圖所示，其中1的半徑為a，2的半徑為b（大于2a）．在1中通以電流I₁=I₀+2t（電流隨時間t變化），產(chǎn)生的磁場為B₁=2kI₁，在2中通以電流I₂=3t，產(chǎn)生的磁場為B₂=kI₂，且兩個磁場同向．現(xiàn)在P處放一個半徑為r的圓形導(dǎo)線框，圓心亦在O處．則：
（1）線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢多大？（不考慮感應(yīng)電流對磁場的影響）
（2）感應(yīng)電動勢就是單位電荷在感應(yīng)電場力的作用下沿線框移動一周（感應(yīng)電場）電場力的功，由此可以求出線框P所在的位置感應(yīng)電場E的大小，那么E為多大？
（3）現(xiàn)撤去線框P，在距O為r處（線框處）放一個靜止的點電荷（電荷量為q，質(zhì)量為m，不考慮重力），從t=0時刻釋放，該電荷恰好以半徑r做圓周運動，試求r的值．

Answer 1

分析 （1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率$\frac{△B}{△t}$，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢
（2）同一根電場線上電場強(qiáng)度大小處處相等，移動電荷q電場力一周做的功qE2πr，${E}_{感}^{\;}=\frac{W}{q}$，即可求出場強(qiáng)
（3）根據(jù)洛侖茲力提供向心力列式求解，

解答 解：（1）${B}_{1}^{\;}=2k{I}_{1}^{\;}=2k（{I}_{0}^{\;}+2t）$=$4kt+2k{I}_{0}^{\;}$
${B}_{2}^{\;}=k{I}_{2}^{\;}=3kt$
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有：${E}_{感}^{\;}=\frac{△{B}_{1}^{\;}}{△t}π{a}_{\;}^{2}+\frac{△{B}_{2}^{\;}}{△t}π{r}_{\;}^{2}$=$4kπ{a}_{\;}^{2}+3kπ{r}_{\;}^{2}$=$πk（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）$
（2）根據(jù)題意感應(yīng)電動勢就是單位電荷在感應(yīng)電場力的作用下沿線框移動一周（感應(yīng)電場）電場力的功，即：${E}_{總}^{\;}=\frac{W}{q}=\frac{qE2πr}{q}=E2πr$
聯(lián)立①②得：$E=\frac{{E}_{總}^{\;}}{2πr}=\frac{4kπ{a}_{\;}^{2}+3kπ{r}_{\;}^{2}}{2πr}$=$\frac{4k{a}_{\;}^{2}+3k{r}_{\;}^{2}}{2r}$=$\frac{2k{a}_{\;}^{2}}{r}+\frac{3kr}{2}$=$\frac{k（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）}{2r}$
（3）小球沿切線方向的加速度大小恒為：$a=\frac{qE}{m}$
經(jīng)過時間t，有：v=at
因為做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：$qv{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
$r=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$=$\frac{mat}{q3kt}=\frac{ma}{3kq}=\frac{m}{3kq}\frac{q}{m}（\frac{2k{a}_{\;}^{2}}{r}+\frac{3kr}{2}）$=$\frac{2{a}_{\;}^{2}}{3r}+\frac{r}{2}$
解得：$r=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$
答：（1）線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為$πk（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）$
（2）感應(yīng)電場E的大小為$\frac{k（4{a}_{\;}^{2}+3{r}_{\;}^{2}）}{2r}$
（3）r的值為$\frac{2\sqrt{3}a}{3}$

點評 本題主要考查電磁感應(yīng)及其相關(guān)知識，意在考查學(xué)生靈活應(yīng)用電磁感應(yīng)定律，洛倫茲力公式解決實際問題的能力，解第三問時要特別要注意“外圍磁場為零”，一定要認(rèn)真審題．