Question

15．已知某星球的質量是地球質量的81倍，半徑是地球半徑的9倍．在地球上發(fā)射一顆衛(wèi)星，其第一宇宙速度為V₀，則在某星球上發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，其發(fā)射速度最小是多少．

Answer 1

分析 建立模型：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，地球對衛(wèi)星的萬有引力提供向心力．推廣到其他球星．根據(jù)此模型，利用比例法求星球上發(fā)射人造衛(wèi)星最小發(fā)射速度．

解答 解：設地球質量為M₁，半徑為R₁；某星球的質量為M₂，半徑為R₂
    由萬有引力定律得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{M}}$
地球的第一宇宙速度${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{1}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}$
星球的第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{2}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}}$
$\frac{{v}_{2}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{2}^{\;}}{{M}_{1}^{\;}}\frac{{R}_{1}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}}=\sqrt{\frac{81}{1}×\frac{1}{9}}=\frac{3}{1}$
解得：${v}_{2}^{\;}=3{v}_{0}^{\;}$
答：發(fā)射速度的最小值為$3{v}_{0}^{\;}$

點評 本題是衛(wèi)星類型問題，關鍵是要建立物理模型，運用萬有引力定律和向心力知識，加上數(shù)學變換來求解．