Question

12．如圖所示，半徑為r、電阻不計的兩個半圓形光滑導軌豎直正對放置，間距為L，軌道兩端所在平面剛好水平．在導軌M、N間接有阻值為R的小燈泡，整個軌道處在磁感應強度為B、方向豎直向下的勻強磁場中．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電阻不計的金屬棒ab從MN處由靜止釋放沿導軌運動，金屬棒經(jīng)過最低點時導軌受到金屬棒的壓力大小為2mg（g為重力加速度），之后金屬棒能繼續(xù)上升$\frac{2}{5}$r高度到達PQ處（未畫出）速度才減為零．金屬棒始終與導軌垂直，且與導軌接觸良好．
（1）求金屬棒到達最低點時的速度大小
（2）求金屬棒從MN到PQ的過程中小燈泡上產(chǎn)生的熱量及流過小燈泡的電荷量．
（3）要使金屬棒沿導軌從PQ再回到MN，可對金屬棒施加一個力，這個力所做的總功至少為多少？

Answer 1

分析 （1）金屬棒經(jīng)過最低點時導軌受到金屬棒的壓力大小為2mg，根據(jù)牛頓第二定律列式求出金屬棒到達最低點時的速度大��；
（2）根據(jù)能量守恒定律有，金屬棒從MN到PQ過程中減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為小燈泡上產(chǎn)生的熱量，先計算金屬棒從MN到PQ的過程中平均感應電動勢，感應電流的大小，再推導求出流過小燈泡的電荷量；
（3）要使金屬棒沿導軌從PQ再回到MN，施加的外力做的功轉(zhuǎn)化為了小燈泡上產(chǎn)生的熱量和金屬棒ab的重力勢能．

解答 解：（1）設金屬棒到達最低點時的速度大小為v
金屬棒經(jīng)過最低點時導軌受到金屬棒的壓力大小為2mg，由牛頓第三定律可知
此時導軌對金屬棒的支持力F_N=2mg，方向豎直向上
在最低點由牛頓第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{gr}$；
（2）根據(jù)能量守恒定律有，金屬棒從MN到PQ過程中減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為小燈泡上產(chǎn)生的熱量
則小燈泡上產(chǎn)生的熱量Q=mg（r-$\frac{2}{5}r$）=$\frac{3mgr}{5}$
金屬棒ab切割磁感線產(chǎn)生的平均感應電動勢E=$\frac{B•△S}{△t}$
流過小燈泡的平均感應電流$I=\frac{E}{R}$
則流過小燈泡的電荷量q=I•△t=$\frac{E}{R}•△t=\frac{B•△S}{R•△t}•△t=\frac{B•△S}{R}$
金屬棒從MN到PQ的過程中△S=L（r+$\sqrt{{r}^{2}-（r-\frac{2}{5}r）^{2}}$）=$\frac{9}{5}rL$
故q=$\frac{B•S}{R}=\frac{9BrL}{5R}$；
（3）要使金屬棒沿導軌從PQ再回到MN，施加的外力做的功轉(zhuǎn)化為了小燈泡上產(chǎn)生的熱量和金屬棒ab的重力勢能
由能量守恒定律有W=Q+mg（r-$\frac{2}{5}r$）=$\frac{6}{5}mgr$
答：（1）金屬棒到達最低點時的速度大小為$\sqrt{gr}$；
（2）金屬棒從MN到PQ的過程中小燈泡上產(chǎn)生的熱量為$\frac{3}{5}mgr$，流過小燈泡的電荷量為$\frac{9BrL}{5R}$．
（3）要使金屬棒沿導軌從PQ再回到MN，可對金屬棒施加一個力，這個力所做的總功至少為$\frac{6}{5}mgr$．

點評 本題考查電磁感應與電路的綜合問題，解題關鍵是明確各個過程中能量的轉(zhuǎn)化關系，再結合能量守恒定律以及法拉第電磁感應定律進行求解．