Question

4．如圖所示，質量為m、帶電量為-q的小球放在光滑絕緣傾斜導軌上，導軌傾角為45°，其下端平滑連接一半徑為R的豎直圓形光滑絕緣軌道，整個裝置放在方向水平向左，強度為E=$\frac{mg}{q}$的勻強電場中．小球在A點由靜止釋放．試問：
（1）若AB高度差為H，則小球到達最低點B點時對圓軌道的壓力為多少？
（2）若小球能通過豎直軌道，則AB高度差為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出B點的速度，在B點豎直方向的合力提供向心力，即可求出小球到達最低點B點時對圓軌道的壓力；
（2）將電場力和重力的合力等效為重力，求出等效重力場最高點的速度，再對整個全過程運用動能定理即可求出AB高度差；

解答 解：（1）根據(jù)題意$E=\frac{mg}{q}$，則Eq=mg
A到B過程電場力與重力做功，根據(jù)動能定理有：$EqH+mgH=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
解得：${v}_{B}^{\;}=\sqrt{4gH}$
在B點受重力、電場力和軌道的支持力，合力提供向心力，得：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上公式，求得：${F}_{N}^{\;}=mg+m\frac{4gH}{R}=mg（1+\frac{4H}{R}）$
根據(jù)牛頓第三定律，軌道對小球的壓力等于小球對軌道的壓力，即$mg（1+\frac{4H}{R}）$
（2）將電場力和重力的合力當作重力，等效重力$\sqrt{2}mg$

等效重力場的最高點：$\sqrt{2}mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
根據(jù)動能定理，有
$mg（H-R-\frac{\sqrt{2}}{2}R）+Eq（H-\frac{\sqrt{2}}{2}R）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
代入數(shù)據(jù)：$H=\frac{3\sqrt{2}+2}{4}R$
答：（1）若AB高度差為H，則小球到達最低點B點時對圓軌道的壓力為$mg（1+\frac{4H}{R}）$
（2）若小球能通過豎直軌道，則AB高度差為$\frac{3\sqrt{2}+2}{4}R$

點評 考查動能定理與向心力公式的應用，注意力做功的正負，注意等效重力的思維是解題的關鍵．注意等效重力場的“最高點”與圓周軌道的最高點的區(qū)別．