Question

6．一探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀．此隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v₀沿水平方向跳向另一側(cè)坡面．如圖所示，以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy．已知，山溝豎直一側(cè)的高度為h，坡面的拋物線方程為y=$\frac{1}{h}{x^2}$，探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為m．人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求此人落到坡面試的動(dòng)能；
（2）此人水平跳出的速度為多大時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最��？動(dòng)能的最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列出等式．由整個(gè)過程中根據(jù)由動(dòng)能定理求解即可
（2）根據(jù)動(dòng)能的表達(dá)式應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求解．

解答 解：（1）設(shè)探險(xiǎn)隊(duì)員跳到坡面上時(shí)水平位移為x，豎直位移為H，
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：x=v₀t，H=$\frac{1}{2}$gt²，
整個(gè)過程中，由動(dòng)能定理可得：mgH=E_K-$\frac{1}{2}$mv₀²
由幾何關(guān)系，y=2h-H
坡面的拋物線方程y=$\frac{1}{2h}$x²
解以上各式得：E_K=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{4m{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{0}^{2}+gh}$
（2）將E_K=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{4m{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{0}^{2}+gh}$改寫為
${E_k}=\frac{1}{4}m（2v_0^2+gh）+\frac{{m{g^2}{h^2}}}{2v_0^2+gh}-\frac{1}{4}mgh$
$當(dāng)\frac{1}{4}m（2v_0^2+gh）=\frac{{m{g^2}{h^2}}}{2v_0^2+gh}時(shí)$
$即v_0^{\;}=\sqrt{\frac{1}{2}gh}時(shí)$，
${E_{kmin}}=\frac{3}{4}mgh$
答：（1）此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能是：$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{4m{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{0}^{2}+gh}$
（2）此人水平跳出的速度為$\sqrt{\frac{gh}{2}}$時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小，動(dòng)能的最小值為$\frac{3mgh}{4}$

點(diǎn)評 本題主要考查平拋運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的應(yīng)用，以及函數(shù)最值的計(jì)算，意在考查考生的綜合分析及數(shù)學(xué)計(jì)算能力．對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律解物理問題的能力要求較高．