Question

1．將一天的時間記為T，地面上的重力加速度記為g，地球半徑記為R
（1）試求地球同步衛(wèi)星P的軌道半徑r_p
（2）一衛(wèi)星Q位于赤道上空，赤道一城市A的人每天看到兩次衛(wèi)星Q掠過上空，求Q的軌道半徑．假設衛(wèi)星運動方向與地球自轉方向相同．

Answer 1

分析 （1）由萬有引力等于向心力列出等式求解軌道半徑
（2）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，赤道一城市A的人每天看到兩次衛(wèi)星Q掠過上空，求出周期關系，由萬有引力等于向心力列出等式求解Q的軌道半徑．

解答 解：（1）設地球質量為M，同步衛(wèi)星質量為m，同步衛(wèi)星周期等于T，由萬有引力等于向心力得：
$G\frac{Mm}{{r}_{P}^{2}}=m{r}_{P}{（\frac{2π}{T}）}^{2}$
又：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，
聯(lián)立解得：r_P=$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）根據(jù)題述，衛(wèi)星Q的周期T₁＜T．假設每隔t時間看到一次：
則$\frac{t}{{T}_{1}}-\frac{t}{T}=1$，
考慮到每天看到兩次的穩(wěn)定狀態(tài)，則有：$t=\frac{1}{2}T$，
解得：${T}_{1}=\frac{1}{3}T$．
對于衛(wèi)星Q，軌道半徑為r，又有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}{\;}^{2}}r$．
解得：$r=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{36{π}^{2}}}$．
答：（1）地球同步衛(wèi)星P的軌道半徑是$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）Q的軌道半徑是$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{36{π}^{2}}}$

點評 解決本題的關鍵知道同步衛(wèi)星的特點，掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能熟練運用．