Question

2．（1）開普勒第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一個(gè)對所有行星都相同的常量，將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M_太．
（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)都成立．已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，地球表面重力加速度是g；
①已知圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星周期為T₀，則圍繞火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的探測器的周期為多大？
②某人在地球上向上跳起的最大高度為h，若不考慮其它因素的影響，則他在火星上向上跳起的最大高度為多大？

Answer 1

分析 行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理時(shí)，此時(shí)軌道是圓，就沒有半長軸了，此時(shí)$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k應(yīng)改為$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k，再由萬有引力作為向心力列出方程可以求得常量k的表達(dá)式；
對火星探測器列萬有引力提供向心力的周期表達(dá)式，得到周期與質(zhì)量和半徑的關(guān)系，進(jìn)而有題目給定的火星與地球關(guān)系，可以得到周期與地球半徑和質(zhì)量的關(guān)系，再由黃金代換，可以代換掉地球質(zhì)量，最終得到火星周期表達(dá)式；
根據(jù)萬有引力等于重力，得出重力加速度的關(guān)系，從而得出上升高度的關(guān)系．

解答 解：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r．
根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：$\frac{G{m}_{行}{M}_{太}}{{r}^{2}}$=m_行（$\frac{2π}{T}$）²r…①
于是有：$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太…②
即：=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太     
（2）設(shè)地球和火星的質(zhì)量分別為M、Mˊ，火星的半徑為Rˊ，則對火星探測器，由萬有引力定律：
G$\frac{M′m}{R{′}^{2}}$=mR′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
又：M′=$\frac{1}{9}$ M，R′=$\frac{1}{2}$R
圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星周期為T₀，則有：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′R$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$
聯(lián)立兩式，解得：T=$\sqrt{\frac{R{′}^{3}}{{R}^{3}}•\frac{M}{M′}}$T₀=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$T₀；
由G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=mg得到：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$．
已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，火星表面的重力加速度是$\frac{4}{9}$g．
假設(shè)人以v₀在地球起跳時(shí)，根據(jù)豎直上拋的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得出：可跳的最大高度是 h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，
以相同的初速度在火星上起跳時(shí)，可跳的最大高度h′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{\frac{4}{9}g}$=$\frac{9}{4}$h．
答：（1）太陽系中該常量k的表達(dá)式是$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太；
（2）①已知圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星周期為T₀，則圍繞火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的探測器的周期為$\frac{3}{4}\sqrt{2}$T₀；
②某人在地球上向上跳起的最大高度為h，若不考慮其它因素的影響，則他在火星上向上跳起的最大高度為$\frac{9}{4}$h．

點(diǎn)評 本題就是考察學(xué)生對開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律的理解和應(yīng)用，掌握住開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律和萬有引力定律即可求得結(jié)果，式中的常量k必修是相對于同一個(gè)中心天體來說的．
這是一個(gè)比較簡單的題，只需要列一個(gè)周期表達(dá)式，再依據(jù)題目給定的關(guān)系，用已知量代換未知量就可以得到最終的結(jié)果．