Question

11．2015年，科學家發(fā)現(xiàn)了一個多星系統(tǒng)的“嬰兒期”，多星系統(tǒng)是宇宙中比較少見的系統(tǒng)．科學家猜想有一種五星系統(tǒng)，是由五顆質量均為m的星體組成，其中四顆在一個邊長為l的正方形的四個角上圍繞第五顆星轉動（轉動可視為勻速圓周運動），第五顆星則在這個正方形的中心處，如圖．假設五星系統(tǒng)離其他恒星較遠，可忽略其他星體對五星系統(tǒng)的引力作用．（萬有引力常量G已知）求：
（1）A星受到其余四顆星體的引力的合力
（2）A星圍繞O星轉動的周期．

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它四顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，根據(jù)合力提供向心力，求出星體勻速圓周運動的周期．

解答 解：星體在其他四個星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，四顆星的軌道半徑為r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l．
F_AC=F_AB=$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$
F_AD=$\frac{1}{4}$F_AO=$\frac{G{m}^{2}}{{\sqrt{2}}^{2}{l}^{2}}$=$\frac{G{m}^{2}}{2{l}^{2}}$，
則合力F=$\sqrt{2}{F}_{AB}$+F_AD+F_AO=$\sqrt{2}$$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$+4•$\frac{G{m}^{2}}{2{l}^{2}}$+$\frac{G{m}^{2}}{2{l}^{2}}$=（$\sqrt{2}$+$\frac{5}{2}$）$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$，
根據(jù)合力充當向心力：（$\sqrt{2}$+$\frac{5}{2}$）$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$$•\frac{\sqrt{2}}{2}l$
解得T=$\sqrt{\frac{4\sqrt{2}{π}^{2}{l}^{3}}{（5+2\sqrt{2}）GM}}$．
答：（1）A星受到其余四顆星體的引力的合力為（$\sqrt{2}$+$\frac{5}{2}$）$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$；

（2）A星圍繞O星轉動的周期為$\sqrt{\frac{4\sqrt{2}{π}^{2}{l}^{3}}{（5+2\sqrt{2}）GM}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．