Question

如圖所示，通過(guò)水平絕緣傳送帶輸送完全相同的正方形單匝銅線框，為了檢測(cè)出個(gè)別未閉合的不合格線框，讓線框隨傳送帶通過(guò)一固定勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（磁場(chǎng)方向垂直于傳送帶平面向下），觀察線框進(jìn)入磁場(chǎng)后是否相對(duì)傳送帶滑動(dòng)就能夠檢測(cè)出未閉合的不合格線框。已知磁場(chǎng)邊界MN、PQ與傳送帶運(yùn)動(dòng)方向垂直，MN與PQ間的距離為d，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。各線框質(zhì)量均為m，電阻均為R，邊長(zhǎng)均為L（L＜d)；傳送帶以恒定速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，線框與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g。線框在進(jìn)入磁場(chǎng)前與傳送帶的速度相同，且右側(cè)邊平行于MN進(jìn)入磁場(chǎng)，當(dāng)閉合線框的右側(cè)邊經(jīng)過(guò)邊界PQ時(shí)又恰好與傳送帶的速度相同。設(shè)傳送帶足夠長(zhǎng)，且在傳送帶上始終保持右側(cè)邊平行于磁場(chǎng)邊界。對(duì)于閉合線框，求：

（1）線框的右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所受安培力的大��；

（2）線框在進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)加速度的最大值以及速度的最小值；

（3）從線框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)到穿出磁場(chǎng)后又相對(duì)傳送帶靜止的過(guò)程中，傳送帶對(duì)該閉合銅線框做的功。

Answer 1

（1）閉合銅線框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=BLv₀     （1分）

    產(chǎn)生的電流I=                               （1分）

    右側(cè)邊所受安培力F=BIL=                       （1分）

（2）線框以速度v₀進(jìn)入磁場(chǎng)，在進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，受安培力而減速運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入磁場(chǎng)后，在摩擦力作用下加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其右側(cè)邊到達(dá)PQ時(shí)速度又恰好等于v₀。因此，線框在剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，所受安培力最大，加速度最大，設(shè)為a_m；線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)的瞬間速度最小，設(shè)此時(shí)線框的速度為v。

線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有     （1分）

解得a_m=                                    （1分）

在線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)又加速運(yùn)動(dòng)到達(dá)邊界PQ的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有

                             （2分）

解得 v=                                （1分）

（3）線框從右側(cè)邊進(jìn)入磁場(chǎng)到運(yùn)動(dòng)至磁場(chǎng)邊界PQ的過(guò)程中

線框受摩擦力f=μmg

由功的公式W_f1=fd                                           （1分）

解得 W_f1=μmgd                                              （1分）

閉合線框出磁場(chǎng)與進(jìn)入磁場(chǎng)的受力情況相同，則完全出磁場(chǎng)的瞬間速度為v；在線框完全出磁場(chǎng)后到加速至與傳送帶速度相同的過(guò)程中，設(shè)其位移x

由動(dòng)能定理有                          （2分）

解得 x=d-L                                                    

閉合線框在右側(cè)邊出磁場(chǎng)到與傳送帶共速的過(guò)程中位移x'=x+L=d 

在此過(guò)程中摩擦力做功W_f2=μmgd                              （1分）

因此，閉合銅線框從剛進(jìn)入磁場(chǎng)到穿出磁場(chǎng)后又相對(duì)傳送帶靜止的過(guò)程中，傳送帶對(duì)閉合銅線框做的功W= W_f1+W_f2=2μmgd                                （1分）