Question

5．如圖所示，有一固定的且內(nèi)壁光滑的半球面，球心為O，最低點(diǎn)為C，有兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)且質(zhì)量相同的小球A和B，在球面內(nèi)壁兩個(gè)高度不同的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A球的軌跡平面高于B球的軌跡平面，A、B兩球與O點(diǎn)的連線與豎直線OC間的夾角分別為a=53°和β=37°，則（sin37°=0.6）（　　）

• A． A、B兩球所受支持力的大小之比為4：3
• B． A、B兩球運(yùn)動(dòng)的周期之比為2：$\sqrt{3}$
• C． A、B兩球的角速度之比為2：$\sqrt{3}$
• D． A、B兩球的線速度之比為8：3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠?jī)蓚�(gè)力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求出支持力之比，根據(jù)牛頓第二定律求出周期、線速度、角速度之比．

解答 解：A、由于小球在運(yùn)動(dòng)的過程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根據(jù)平行四邊形定則得，N=$\frac{mg}{cosθ}$，則$\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}=\frac{cos37°}{cos53°}=\frac{4}{3}$．故A正確．
B、小球受到的合外力：mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=Rsinθ，解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}cosθ}{g}}$，則$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\frac{cos53°}{cos37°}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)mgtanθ=$\frac{m{v}^{2}}{r}$得：$v=\sqrt{grtanθ}$所以：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}}=\sqrt{\frac{Rsinα}{Rsinβ}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$．故C正確；
D、根據(jù)公式：mgtanθ=mω²r，所以：$ω=\sqrt{\frac{gtanθ}{r}}$，所以：$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．故D正確．
故選：ACD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來源，運(yùn)用牛頓第二定律得出線速度、周期的關(guān)系．同時(shí)注意能量關(guān)系．