Question

3．如圖所示，一束寬為$\frac{L}{12}$的平行可見光，包含有兩種色光，從空氣射入頂角為30度的直角透明磚，磚底邊長為L，若透明磚對其中一種色光的折射率的折射率n₁=$\sqrt{3}$，對另一種色光的折射率為n₂＜$\sqrt{3}$，當色光上部從AB面中點以60度入射角入射，使這兩種色光恰能在透明磚AC表面處射出時分開，則折射率n₂至少應(yīng)為多少？（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 當色光下部的折射光線恰好與上部的折射光線相交于AC面時，兩種色光恰能在透明磚AC表面處射出時分開，作出光路圖，根據(jù)折射定律求出色光上部在AB面的折射角，結(jié)合數(shù)學(xué)知識求出下部色光在AB面的折射角，從而求得其折射率．

解答 解：設(shè)兩種色光在AB面的入射角為i，上部分色光的折射角為r，下部分色光的折射角為β．
根據(jù)折射定律有 n₁=$\frac{sini}{sinr}$，其中i=60°
解得 r=30°，所以上部分色光的折射光線垂直于AC面射出
根據(jù)幾何知識可得：DE=$\frac{L}{6}$
在△DEF中，根據(jù)正弦定理得：
  $\frac{\frac{L}{2}}{sinα}$=$\frac{\frac{L}{6}}{sin（90°-30°-α）}$
解得 α=arctan$\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}$
所以折射率n₂至少為 n₂=$\frac{sini}{sinβ}$=$\frac{sin60°}{cosα}$=$\frac{\sqrt{3}}{2cos[arctan\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}]}$
答：使這兩種色光恰能在透明磚AC表面處射出時分開，則折射率n₂至少應(yīng)為$\frac{\sqrt{3}}{2cos[arctan\frac{3（\sqrt{3}-1）}{2}]}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵要根據(jù)題意，作出光路圖，運用數(shù)學(xué)知識求解折射角，根據(jù)折射定律研究折射率．