Question

為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為37°、長為l = 2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除 AB 段以外都是光滑的。其AB 與BC 軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個(gè)小物塊以初速度＝4.0m/s從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰好沿 AB 方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動(dòng)摩擦因數(shù) μ = 0.50．（g＝10 m／s²、sin37°＝ 0.60、cos37° ＝0.80）

（1）求小物塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度。

（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？

（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則豎直圓軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

（1） 小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間 t 到達(dá)A處時(shí)，令下落的高度為h，水平分速度v₀，豎直速度為v_y，小物塊恰好沿斜面AB方向滑下，則tan37° = v_y/ v₀

得v_y = 3 m/s，

所以小物塊到A點(diǎn)的速度為5m/s                (3分)

（2） 物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力 f = μF_N = μmgcos37°  

設(shè)物塊進(jìn)入圓軌道到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)有最小速度v₁，此時(shí)物塊受到的重力恰好提供向心力，令此時(shí)的半徑為 R₀，

則mg = mv₁²/R₀                                  (1分)

物塊從拋出到圓軌道最高點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：

mg(h + lsin37° – 2R₀) – μmgcos37°·l = mv₁²/2 – mv₀²/2.      (4分)

聯(lián)立上式，解得R₀ = 0.66m                  （1分）

若物塊從水平軌道 DE 滑出，圓弧軌道的半徑滿足 R₁ ≤ 0.66m                                              (1分)

（3） 為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則物塊上升的高度須小于或等于某個(gè)值R，則 mg(h + lsin37°) – μmgcos37°·l – mgR = 0 – mv₀²/2                       (3分)

解得R = 1.65m

    物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，則 R₂ ≥ 1.65m        (1分)