Question

7．2016年9月25日，有著“超級(jí)天眼”之稱的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡落成啟用，為我國(guó)深空探索又推進(jìn)了一大步．假如利用該“天眼”觀察到兩個(gè)未知天體A、B，其質(zhì)量之比為M_A：M_B=2：3，半徑之比為R_A：R_B=1：2，其周圍各有一顆衛(wèi)星，環(huán)繞天體A、B運(yùn)行的衛(wèi)星的軌道半徑之比r_A：r_B=4：3，則下列選項(xiàng)正確的是（　�。�

• A． 兩衛(wèi)星受到的萬有引力之比F_A：F_B=3：8
• B． 兩衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心加速度之比a_A：a_B=3：8
• C． 天體A、B的第一宇宙速度之比v_A：v_B=2$\sqrt{3}$：3
• D． 天體A、B表面的重力加速度之比g_A：g_B=3：8

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬有引力提供向心力，由此列式得到向心加速度、第一宇宙速度的表達(dá)式，再求解向心加速度之比和第一宇宙速度之比．根據(jù)物體在行星表面時(shí)重力等于萬有引力，列式分析天體A、B表面的重力加速度之比．

解答 解：A、設(shè)環(huán)繞天體A、B運(yùn)行的衛(wèi)星的質(zhì)量分別為m_A、m_B．
由萬有引力定律得：兩衛(wèi)星受到的萬有引力之比 F_A：F_B=G$\frac{{M}_{A}{m}_{A}}{{R}_{A}^{2}}$：G$\frac{{M}_{B}{m}_{B}}{{R}_{B}^{2}}$，由于m_A、m_B關(guān)系未知，所以不能求出F_A：F_B．故A錯(cuò)誤．
B、衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬有引力提供向心力，得：
  G$\frac{{M}_{A}{m}_{A}}{{r}_{A}^{2}}$=m_Aa_A，G$\frac{{M}_{B}{m}_{B}}{{r}_{B}^{2}}$=m_Ba_B．
可得 a_A=G$\frac{{M}_{A}}{{r}_{A}^{2}}$，a_B=G$\frac{{M}_{B}}{{r}_{B}^{2}}$
則a_A：a_B=G$\frac{{M}_{A}}{{r}_{A}^{2}}$：G$\frac{{M}_{B}}{{r}_{B}^{2}}$=3：8，故B正確．
C、根據(jù)萬有引力等于向心力得：
   G$\frac{{M}_{A}m}{{R}_{A}^{2}}$=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{{R}_{A}}$，G$\frac{{M}_{B}m}{{R}_{B}^{2}}$=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{B}}$
可得 v_A=$\sqrt{\frac{G{M}_{A}}{{R}_{A}}}$，v_B=$\sqrt{\frac{G{M}_{B}}{{R}_{B}}}$
可得  v_A：v_B=2$\sqrt{3}$：3．故C正確．
D、物體在行星表面時(shí)重力等于萬有引力，則有
  G$\frac{{M}_{A}m}{{R}_{A}^{2}}$=mg_A，G$\frac{{M}_{B}m}{{R}_{B}^{2}}$=mg_B．
可得，天體A、B表面的重力加速度之比g_A：g_B=G$\frac{{M}_{A}}{{R}_{A}^{2}}$：G$\frac{{M}_{B}}{{R}_{B}^{2}}$=8：3，故D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于衛(wèi)星問題，關(guān)鍵是要熟練掌握萬有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，以及重力等于萬有引力，并能寫出向心力的不同表達(dá)式．