Question

6．如圖所示，AB為固定在豎直平面內(nèi)的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，其半徑為R，軌道的B點(diǎn)與水平地面相切，質(zhì)量為m的小球由A點(diǎn)以速度v₀=$\sqrt{gR}$向下運(yùn)動，求：
（1）小球滑到最低點(diǎn)B時，速度v的大小；
（2）小球到達(dá)最低點(diǎn)B時，軌道對小球支持力F_N的大�。�
（3）小球通過光滑的水平面BC后，滑上粗糙的固定曲面CD，恰好到達(dá)最高點(diǎn)D，D到地面的高度為$\frac{R}{2}$，則小球在曲面CD上克服摩擦力所做的功W_f為多少？

Answer 1

分析 （1）小球從A滑至B的過程中，支持力不做功，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律或動能定理列式求解v；
（2）在最低點(diǎn)B時，小球所受重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解支持力F_N；
（3）對小球從A運(yùn)動到D的整個過程運(yùn)用動能定理列式求解克服摩擦力所做的功W_f．

解答 解：（1）小球從A滑至B的過程中，由動能定理得
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 v₀=$\sqrt{gR}$
聯(lián)立解得 v=$\sqrt{3gR}$
即小球滑到最低點(diǎn)B時，小球速度v的大小為$\sqrt{3gR}$．
（2）在B點(diǎn)，對小球，由牛頓第二定律得
  F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
則 F_N=4mg
即小球到達(dá)最低點(diǎn)B時，軌道對小球支持力F_N的大小為4mg．
（3）對于小球從A運(yùn)動到D的整個過程，由動能定理，得
  mg（R-$\frac{R}{2}$）-W_f=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
則W_f=mgR
即小球在曲面CD上克服摩擦力所做的功為mgR．
答：
（1）小球滑到最低點(diǎn)B時，小球速度v的大小為$\sqrt{3gR}$．
（2）小球到達(dá)最低點(diǎn)B時，軌道對小球支持力F_N的大小為4mg．   
（3）小球在曲面CD上克服摩擦力所做的功為mgR．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵在于靈活地選擇運(yùn)動過程運(yùn)用動能定理列式，動能定理不涉及運(yùn)動過程的加速度和時間，對于曲線運(yùn)動同樣適用．