Question

5．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy的坐標(biāo)平面豎直，x軸沿水平方向，在x≥0的區(qū)域有垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該區(qū)域還固定著一根與x軸方向成30°角的光滑絕緣細(xì)桿，細(xì)桿的一端N恰在y軸上．在第三象限，同時(shí)存在著豎直向上、場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于坐標(biāo)平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=E$\sqrt{\frac{π}{gL}}$的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一個(gè)帶電小球a穿在細(xì)桿上，由P點(diǎn)靜止釋放后滑過(guò)N點(diǎn)進(jìn)入第三象限，小球在第三象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且第一次垂直經(jīng)過(guò)x軸上坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$L，0）的Q點(diǎn)．重力加速度為g，空氣阻力忽略不計(jì)．求：
（1）小球a的電性及其比荷$\frac{q}{m}$；
（2）小球a經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)的速度；
（3）P點(diǎn)到N點(diǎn)的距離s；
（4）在第二象限有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在x軸負(fù)半軸上有一特殊裝置，使小球從下向上離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)所帶電荷立即消失，而從上向下經(jīng)x軸進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)又立即帶上與原來(lái)相同的電荷，且小球每次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)都不損失能量．當(dāng)小球a剛離開(kāi)N點(diǎn)時(shí)，從y軸上坐標(biāo)為（0，$\frac{121πL}{18}$）的D點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），以某一初速度水平拋出一個(gè)帶正電的小球b，b球剛好在第一次過(guò)x軸時(shí)與a球迎面相碰，相碰前瞬間b的速度方向恰垂直于x軸，忽略小球之間的相互作用，求b球的初速度大�。�
（結(jié)果用E、L、g、π表示）

Answer 1

分析 （1）粒子在第3象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力和電場(chǎng)力平衡，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)平衡條件求解電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）帶電小球在第3象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到半徑，然后結(jié)合牛頓第二定律求解速度；
（3）帶電小球a穿在細(xì)桿上做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；
（4）絕緣小球b做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式求解運(yùn)動(dòng)到x軸的時(shí)間；小球a在第3象限做圓周運(yùn)動(dòng)，第2象限做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，分階段求解出其經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)間，然后根據(jù)等時(shí)性列式．

解答 解：（1）粒子在第3象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力和電場(chǎng)力平衡，故電場(chǎng)力向上，故粒子帶正電，根據(jù)平衡條件，有：
mg=qE
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{g}{E}$．
（2）小球在第三象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖，有：

qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由幾何關(guān)系：R+Rsin30°=$\frac{3}{2}$L
解得：v=$\sqrt{πg(shù)L}$
（3）小球a在桿上做勻加速運(yùn)動(dòng)
a=$\frac{1}{2}$g
2as=v²-0
解得：s=πL
（4）小球a在第三象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期T=$\frac{2πm}{qB}$=2$\sqrt{\frac{πL}{g}}$
a每次在第二象限豎直上、下運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t₀=$\frac{2v}{g}$=2$\sqrt{\frac{πL}{g}}$
小球b在水平、豎直方向做分別勻減速運(yùn)動(dòng)、自由落體運(yùn)動(dòng)，如圖

b到x軸的時(shí)間為t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{11}{3}$$\sqrt{\frac{πl(wèi)}{g}}$
兩球要相碰，有：t=$\frac{T}{3}$+n（t₀+$\frac{T}{2}$）
解得：n=1
設(shè)b球的水平初速度為v₀
b發(fā)生水平位移x=3R+Rsin30°=$\frac{7}{2}$L
則由：$\frac{7}{2}$L=$\frac{{v}_{0}}{2}$t
解得：v₀=$\frac{21}{11}$$\sqrt{\frac{gl}{π}}$
答：（1）小球a的電性及其比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{g}{E}$；
（2）小球a經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{πg(shù)L}$；
（3）P點(diǎn)到N點(diǎn)的距離s為πL；
（4）b球的初速度大小$\frac{21}{11}$$\sqrt{\frac{gl}{π}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題多物體、多過(guò)程、多規(guī)律，是典型的三多問(wèn)題；關(guān)鍵是明確兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后分階段根據(jù)牛頓第二定律、平衡條件、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式求解，較難．