Question

14．坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一點(diǎn)狀的放射源，它向xoy平面內(nèi)的x軸上方各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度大小都是v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$，其中q和m分別為α粒子的電量和質(zhì)量；在d＜x＜4d的區(qū)域內(nèi)分布有垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．Ab為一塊很大的平面感光板，放置于y=4d處，如圖所示．觀察發(fā)現(xiàn)此時(shí)恰無(wú)粒子打到ab板上．不考慮α粒子的重力．求：
（1）α粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）將ab板平移到什么位置時(shí)所有的粒子均能打到板上？此時(shí)ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出α粒子剛進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場(chǎng)不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，求出進(jìn)入磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（3）沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大小得出磁場(chǎng)的寬度，從而確定出ab板移動(dòng)的位置，根據(jù)幾何關(guān)系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理：qEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得α粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能  E_k=$\frac{1}{2}$mv²=Eqd+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$•qd+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2$m{v}_{0}^{2}$
（2）根據(jù)上題結(jié)果可知v=2v₀，對(duì)于沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x軸正方向夾角 θ=$\frac{π}{3}$，其在電場(chǎng)中沿x方向的位移 x₁=v₀t
又 d=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
聯(lián)立得 x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$
，易知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，可得其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑應(yīng)滿足：r+rcos$\frac{π}{3}$=3d，r=2d
又根據(jù)洛倫茲力提供向心力，則有 Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得 B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{2m{v}_{0}}{q•2d}$=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$
（3）易知沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．由圖可知此時(shí)磁場(chǎng)寬度為原來(lái)的$\frac{1}{3}$，
即當(dāng)ab板位于y=$\frac{4}{3}$d的位置時(shí)，恰好所有粒子均能打到板上；
ab板上被打中區(qū)域的長(zhǎng)度 L=2x₁+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+2d
答：（1）α粒子剛進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能為2mv₀²．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qd}$．
（3）當(dāng)ab板位于y=$\frac{4}{3}$d的位置時(shí)，恰好所有粒子均能打到板上，打中區(qū)域的長(zhǎng)度為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+2d．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情況，通過(guò)幾何關(guān)系解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．