Question

10．有一種利用電磁分離同位素的裝置，可以將某種化學(xué)元素的其它類型的同位素去除而達(dá)到濃縮該種特殊的同位素的目的，其工作原理如圖所示．粒子源A產(chǎn)生的初速度為零、電荷量為e、質(zhì)量為m的氕核和質(zhì)量為2m氘核，經(jīng)過電壓為U₀的加速電場(chǎng)加速后勻速通過準(zhǔn)直管，從偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的極板左端中央沿垂直電場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，偏轉(zhuǎn)后通過位于下極板中心位置的小孔S離開電場(chǎng)，進(jìn)入范圍足夠大、上端和左端有理想邊界、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域的上端以偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的下極板為邊界，磁場(chǎng)的左邊界MN與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的下極板垂直，且MN與小孔S左邊緣相交于M點(diǎn)．已知偏轉(zhuǎn)極板的長(zhǎng)度為其板間距離的2倍，整個(gè)裝置處于真空中，粒子所受重力、小孔S的大小及偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的邊緣效應(yīng)均可忽略不計(jì)．
（1）求氕核通過孔S時(shí)的速度大小及方向；
（2）若氕核、氘核進(jìn)入電場(chǎng)強(qiáng)度為E的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，沿極板方向的位移為x，垂直于極板方向的位移為y，試通過推導(dǎo)y隨x變化的關(guān)系式說明偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)不能將氕核和氘核兩種同位素分離（即這兩種同位素在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡相同）；
（3）在磁場(chǎng)邊界MN上設(shè)置同位素收集裝置，若氕核的收集裝置位于MN上S₁處，氘核的收集裝置位于MN上S₂處．求S₁和S₂之間的距離．

Answer 1

分析 （1）設(shè)氕核經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理求出v，氕核垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式即可；
（2）設(shè)氕、氘核經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度分別為v、v′，根據(jù)動(dòng)能定理列式，求出兩個(gè)速度，設(shè)氕、氘核在平行極板方向通過x所用時(shí)間分別為t、t′，根據(jù)在平行極板方向做勻速運(yùn)動(dòng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，最后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求出表達(dá)式即可證明；
（3）設(shè)氕、氘核在磁場(chǎng)中的做圓運(yùn)動(dòng)的速度分別為v_S、v_S′，半徑分別為R₁、R₂，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑之比，從而求出S₁和S₂之間的距離．

解答 解：（1）設(shè)氕核經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$
氕核垂直射入勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，在平行極板方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直極板方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)偏轉(zhuǎn)極板長(zhǎng)為l，極板間距為d，氕核從S孔射出時(shí)速度為v_S，垂直極板方向的速度為v_y，
因?yàn)?\frac{l}{2}=vt$，$\fracxxbbb19{2}=\frac{v_y}{2}t$，l=2d
所以v=v_y
氕核通過小孔S時(shí)速度大小為：${v_S}=\sqrt{2}v=\sqrt{2}\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}=2\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}$
氕核通過小孔S時(shí)速度方向與極板成45°
（2）設(shè)氕、氘核經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度分別為v、v′，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$，$e{U_0}=\frac{1}{2}2m{v'^2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$，$v'=\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}$
設(shè)氕、氘核在平行極板方向通過x所用時(shí)間分別為t、t′
則有：$t=\frac{x}{v}=\frac{x}{{\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}}}$，$t'=\frac{x}{v'}=\frac{x}{{\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}}}$
設(shè)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E，氕核、氘核在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的加速度分別為a、a′，則有：
$a=\frac{eE}{m}$，$a'=\frac{eE}{2m}$
氕核、氘核在垂直極板方向上有：$y=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{E}{{4{U_0}}}{x^2}$，$y=\frac{1}{2}a'{t'^2}=\frac{E}{{4{U_0}}}{x^2}$
即氕、氘核在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是相同的．
（3）設(shè)氕、氘核在磁場(chǎng)中的做圓運(yùn)動(dòng)的速度分別為v_S、v_S′，半徑分別為R₁、R₂
根據(jù)牛頓第二定律有：$e{v_S}B=\frac{{m{v_S}^2}}{R_1}$，$e{{v}_{S}}^{′}B=\frac{2m{v}_{S}{\;}^{2}}{{R}_{2}}$
根據(jù)（1）中${v_S}=\sqrt{2}v=\sqrt{2}\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}=2\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}$，${v_S}^′=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$
可知氕核、氘核在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑之比$\frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$
氕核、氘在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)都是半徑的$\sqrt{2}$倍，
所以S₁和S₂之間的距離為：$△s=（4-2\sqrt{2}）\sqrt{\frac{{m{U_0}}}{{e{B^2}}}}$
答：（1）氕核通過孔S時(shí)的速度大小為$2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m}}$，方向與極板成45°；
（2）證明如上；
（3）S₁和S₂之間的距離$（4-2\sqrt{2}）\sqrt{\frac{m{U}_{0}}{e{B}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程是解決問題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問題，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵找出圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，列出等式解決問題，對(duì)于粒子垂直射入平行板電容器中的問題，要知道粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，能根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求解，難度較大．