Question

15．已知地球半徑為R，a衛(wèi)星離地面的高度等于R，b衛(wèi)星離地面高度為3R，兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運(yùn)動，則：
①a、b兩衛(wèi)星所在軌道重力加速度之比；
②若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點(diǎn)的正上方，則a至少經(jīng)過多少個周期兩衛(wèi)星相距最近？

Answer 1

分析 由萬有引力提供向心力可求得加速度之比，將衛(wèi)星的運(yùn)動看成勻速圓周運(yùn)動處理，相距最近為兩者完成的轉(zhuǎn)數(shù)差為1．

解答 解：①萬有引力提供向心力得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，則$\frac{{a}_{a}}{{a}_}$=$\frac{{r}_^{2}}{{r}_{a}^{2}}$=4
　�、谟砷_普勒行星運(yùn)動規(guī)律知
T_a：T_b=$\sqrt{\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
設(shè)經(jīng)過△t時間 兩衛(wèi)星再一次通過地面同一點(diǎn)的上方，
此時a比b多轉(zhuǎn)一圈，即$\frac{△t}{{t}_{a}}-\frac{△t}{{t}_}$=1
解得：△t=$\frac{{T}_{a}{T}_}{{T}_-{T}_{a}}$  則為T_a的$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$倍
答：①a、b兩衛(wèi)星所在軌道重力加速度之比為4：1；
②a至少經(jīng)過$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$個周期兩衛(wèi)星相距最近．

點(diǎn)評 本題既可應(yīng)用萬有引力提供向心力求解，也可應(yīng)用開普勒行星運(yùn)動定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時相距最近的求解，用到的數(shù)學(xué)變換相對較多，增加了本題難度．