Question

如圖所示，AB和CD處于豎直平面內的光滑圓弧軌道，OA處于水平位置．AB是半徑為R=2m的

1

4

的圓周軌道，CD是半徑為r=1m的半圓圓管軌道（圓管寬度可以忽略），最高點D處于固定一個豎直彈性擋板，小球與擋板碰撞后功能損失不計．BC是水平粗糙軌道，與圓弧形軌道平滑連接．已知BC段水平軌道L=4m，與小球之間的動摩擦因數(shù)μ=0.1．現(xiàn)讓一個質量m=1kg的小球p從A點的正上方距水平線OA高H=1.9m處自由落下，g取10m/s²．求：
（1）小球第一次到達D點對軌道的壓力和方向；
（2）小球與彈性擋板碰撞額次數(shù)，小球最終靜止于何處．

Answer 1

（1）根據(jù)動能定理得，mgH+mgR-μmgL-mg2r=

1

2

mvD2
vD=

2gH-2μgL

=

2×10×1.9-2×0.1×10×4

=

30

m/s，
由圓周運動得，mg+FN=m

v2

r

代入數(shù)據(jù)解得F_N=20N，
由牛頓第三定律得，軌道所受壓力大小為20N，方向豎直向上．
（2）小球要想碰撞D處擋板的臨界速度v＞0，由臨界情況時的功能關系可得：
mgH+mgR-μmgX_L′-mg2r＞0
所以XL′＜

H

μ

=19m．
由小球碰撞運動的情境可得，第一次碰撞運動L，第二次碰撞運動了3L，第三次碰撞運動了5L，
所以小球與擋板碰撞了2次．
小球最終將停于BC上，滿足mgH+mgR-μmgX_L=0，
X_L是L長度的9.75倍．
最終小球由B點返回時停于距B點1m處（或距C點3m處）．
答：（1）小球第一次到達D點對軌道的壓力大小為20N，方向豎直向上．
（2）小球與彈性擋板碰撞的次數(shù)為2次．最終小球由B點返回時停于距B點1m處．