Question

2．如圖所示，在坐標系的第一象限內(nèi)有勻強電場，其場強為E₀，一個質(zhì)量為m，電量為q的正電荷從A點以初速度為v₀沿x軸正方向運動，正好到達x軸上的B點，在第四第象限內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場，當(dāng)電荷到達C點時速度恰好平行于x軸，電荷由C點進入第三象限，然后由D點進入第二象限，已知OA=d，OB=2d，OD=2d，求．
（1）第四象限內(nèi)勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大��；
（2）第三象限內(nèi)勻強磁場的場強E與第一象限內(nèi)E₀之比；
（3）電荷到達D點時的動能E_k多大．

Answer 1

分析 （1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運動，由平拋運動的知識求出粒子進入第四象限的速度的大小和方向；畫出粒子在磁場中運動的軌跡，然后由幾何關(guān)系求得粒子運動的半徑，由半徑公式求出磁感應(yīng)強度；
（2）粒子在第三象限內(nèi)做類平拋運動，結(jié)合運動的合成與分解的知識即可求出電場強度；
（3）粒子在第三象限內(nèi)做類平拋運動，結(jié)合運動的合成與分解的知識求出粒子到達D點的速度，由動能的定義式即可求出電荷到達D點時的動能．

解答 解：（1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運動，水平方向：2d=v₀t
豎直方向做勻加速直線運動，所以：$d=\frac{{v}_{y}}{2}•t$
聯(lián)立可得：v_y=v₀
粒子的速度方向與水平方向之間的夾角θ：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{{v}_{0}}{{v}_{0}}=1$
所以：θ=45°
粒子進入磁場的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$
粒子由于垂直于y軸進入第三象限，所以畫出運動的軌跡如圖：

由圖可知，粒子在磁場中運動的半徑：$r=\sqrt{2}OB=2\sqrt{2}d$
粒子在磁場中受到的洛倫茲力通過向心力，則：$\frac{m{v}^{2}}{r}=qvB$
聯(lián)立得：B=$\frac{m{v}_{0}}{2qd}$
（2）粒子在第三象限中運動的時間t′，則：2d=vt′
所以：$t′=\frac{\sqrt{2}}{2}t$
O到C點的距離：L=$OP+PC=OB+r=（2+2\sqrt{2}）d$
豎直方向：L=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•t{′}^{2}$
在第一象限：$d=\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{0}}{m}•{t}^{2}$
聯(lián)立得：$E=（4+4\sqrt{2}）{E}_{0}$
（3）粒子到達D點是豎直方向的分速度是v_y′，則：$L=\frac{{v}_{y}′}{2}•t′$
粒子到達D點的速度：${v}_{D}=\sqrt{{v}^{2}+v{′}_{y}^{2}}$
粒子的動能：${E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
聯(lián)立得：${E}_{k}=（11+8\sqrt{2}）m{v}_{0}^{2}$
答：（1）第四象限內(nèi)勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大小是$\frac{m{v}_{0}}{2qd}$；
（2）第三象限內(nèi)勻強磁場的場強E與第一象限內(nèi)E₀之比是$4+4\sqrt{2}$；
（3）電荷到達D點時的動能E_k是$（11+8\sqrt{2}）m{v}_{0}^{2}$．

點評 本題主要考查了帶電粒子在混合場中運動的問題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運動情況，熟練掌握圓周運動及平拋運動的基本公式，難度適中．