Question

3．據上海消息：今年3月我國啟動了“探月計劃”，預計在3年后發(fā)射探月衛(wèi)星．在探月計劃中需要解決的一個關鍵問題是：“如何讓探測衛(wèi)星進入月球軌道”．為此，上海航天局提出了“采取多級推進的方式將探測衛(wèi)星送入月球軌道的方案”，按此方案，衛(wèi)星先被送入一個地球同步橢圓軌道A，這一軌道A離地面最近距離為500公里，最遠為7萬公里，探月衛(wèi)星將用26小時環(huán)繞此軌道一圈；然后通過獲取能量，衛(wèi)星再進入一個更大的橢圓軌道B，其距離地面最近距離為500公里，最遠為12萬公里．此后，探測衛(wèi)星不斷獲得能量，最后直接“奔向”月球，快到月球時，依靠控制火箭的反向助推減速，被月球引力圈“俘獲”，成為環(huán)月球衛(wèi)星，在離月球表面200公里高度的月球極地軌道C上飛行，為在月球上著陸作準備．
已知月球質量m與地球質量M的比值為$\frac{m}{M}=\frac{1}{81}$，月球半徑r與地球半徑R之比為$\frac{r}{R}$=0.273，地球半徑R為6371km．試根據上述文字完成下列二個問題：
（1）探月衛(wèi)星在地球同步橢圓軌道A和B上飛行時的周期之比；（取一位有效數字）
（2）探月衛(wèi)星在環(huán)月球軌道C上飛行的周期．

Answer 1

分析 （1）根據開普勒第三定律即可求出軌道A和B上飛行時的周期之比；
（2）由萬有引力提供向心力的周期公式，可以得到周期的數值．

解答 解：（1）根據開普勒第三定律：$\frac{{R}_{A}^{3}}{{T}_{A}^{2}}=\frac{{R}_{B}^{3}}{{T}_{B}^{2}}$
所以：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{（\frac{{R}_{A}}{{R}_{B}}）^{3}}$=$\sqrt{（\frac{\frac{6371+500+6371+70000}{2}}{\frac{6371+500+6371+120000}{2}}）^{3}}$≈0.5
（2）衛(wèi)星對衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力，在A軌道：
$\frac{GM{m}_{0}}{{R}_{A}^{2}}={m}_{0}•（\frac{2π}{{T}_{A}}）^{2}•{R}_{A}$…①
衛(wèi)星在C軌道上運動時：
$\frac{Gm{m}_{0}}{{r}^{2}}={m}_{0}•{（\frac{2π}{{T}_{C}}）}^{2}•r$…②
聯(lián)立①②得：$\frac{{T}_{C}^{2}}{{T}_{A}^{2}}=\frac{M}{m}•\frac{{r}^{3}}{{R}_{A}^{3}}$
又：r=0.273R=0.273×6731=1838km
${R}_{A}=\frac{6371+500+6371+70000}{2}=41621$km
代入數據得：T_C=2.17h=7815s
答：（1）探月衛(wèi)星在地球同步橢圓軌道A和B上飛行時的周期之比是0.5；
（2）探月衛(wèi)星在環(huán)月球軌道C上飛行的周期是7815s．

點評 對于衛(wèi)星類型，關鍵分析向心力的來源，運用萬有引力定律、牛頓第二定律和圓周運動的規(guī)律列式進行分析即可．