Question

17．如圖甲所示，空間存在B=0.5T，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN、PQ是相互平行的粗糙的長(zhǎng)直導(dǎo)軌，處于同一水平面內(nèi)，其間距L=0.2m，R是連在導(dǎo)軌一端的電阻，ab是跨接在導(dǎo)軌上質(zhì)量m=0.1kg的導(dǎo)體棒，從零時(shí)刻開始，通過(guò)一小型電動(dòng)機(jī)對(duì)ab棒施加一個(gè)牽引力F，方向水平向左，使其從靜止開始沿導(dǎo)軌做加速運(yùn)動(dòng)，此過(guò)程中棒始終保持與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，圖乙是棒的速度一時(shí)間圖象，其中OA段是直線，AC是曲線，DE是曲線圖象的漸近線．小型電動(dòng)機(jī)在12s末達(dá)到額定功率P=4.5W，此后功率保持不變．除R以外，其余部分的電阻均不計(jì)，g=10m/s²．

（1）求導(dǎo)體棒在0～12s內(nèi)的加速度大�。�
（2）求導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)及電阻R的阻值．
（3）若t=17s時(shí)，導(dǎo)體棒ab達(dá)最大速度，且0～17s內(nèi)共發(fā)生位移100m．試求12s～17s內(nèi)R上產(chǎn)生的熱量是多少？

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒在0-12s內(nèi)做勻加速運(yùn)動(dòng)，由圖象的斜率求解加速度．
（2）乙圖中A點(diǎn)：由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，由牛頓第二定律得到含μ和R的表達(dá)式；圖中C點(diǎn)：導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件再得到含μ和R的表達(dá)式，聯(lián)立求出μ和R．
（3）由圖象的“面積”求出0-12s內(nèi)導(dǎo)體棒發(fā)生的位移，0-17s內(nèi)共發(fā)生位移100m，求出AC段過(guò)程發(fā)生的位移，由能量守恒定律求解12s～17s內(nèi)R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）由圖中可得12s末的速度為 v₁=9m/s，t₁=12s
導(dǎo)體棒在0～12s內(nèi)的加速度大小為　
 a=$\frac{{v}_{1}-0}{{t}_{1}}$=0.75m/s²．
（2）設(shè)金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．
A點(diǎn)有　E₁=BLv₁ ①
感應(yīng)電流　I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$    ②
由牛頓第二定律　F₁-μmg-BI₁L=ma₁ ③
則額定功率為 P_額=F₁v₁　　  �、�
C點(diǎn)：棒達(dá)到最大速度，F(xiàn)₂-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$=0  ⑤
  P_額=F₂v_m ⑥
將速度v=9m/s，a=0.75m/s²和最大速度 v_m=10m/s，a=0 代入．
可得μ=0.2，R=0.4Ω　　　　　　　
（3）0～12s內(nèi)導(dǎo)體棒勻加速運(yùn)動(dòng)的位移 s₁=v₁t₁/2=54m                         
12～17s內(nèi)導(dǎo)體棒的位移 s₂=100-54=46m                                      
由能量守恒 Q=Pt₂-$\frac{1}{2}$m（v₂²-v₁²）-μmg s₂=12.35J．                            
答：（1）求導(dǎo)體棒在0-12s內(nèi)的加速度大小是0.75m/s²；
（2）導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.2，電阻R的阻值是0.4Ω；
（3）12-17s內(nèi)，R上產(chǎn)生的熱量是12.35J．

點(diǎn)評(píng) 本題與力學(xué)中汽車勻加速起動(dòng)類似，關(guān)鍵要推導(dǎo)安培力的表達(dá)式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒結(jié)合進(jìn)行求解．