Question

14．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的粗糙斜軌道AB與光滑水平軌道BC及豎直光滑半圓形軌道CD平滑連接，半圓軌道的直徑DC垂直于BC，斜軌道的傾角θ=37°，圓形軌道的半徑為R．一質(zhì)量為m的小滑塊（可看作質(zhì)點）從高為H的斜軌道上的P點由靜止開始下滑，然后從直軌道進入圓形軌道運動，運動到圓形軌道的最高點D時對軌道的壓力大小恰與重力相等，小滑塊過最高點D后做平拋運動，恰好垂直撞擊在斜軌道的Q點．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度為g，求：
（1）滑塊運動到圓形軌道最高點時的速度大�。�
（2）滑塊與斜軌道間的動摩擦因數(shù)μ．
（3）水平軌道BC的長度．

Answer 1

分析 （1）D點由向心力公式可得速度大�。�
 （2）由動能定理可求得摩擦力做功，其中摩擦力做功含有摩擦因數(shù)．
 （3）由平拋運動可得水平向與豎直向的位移，結(jié)合圖中的幾何關系可求得距離．

解答 解：（1）在D點：2mg=$m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$ 則${v}_{D}=\sqrt{2gR}$
 （2）由P到D，由動能定理：$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}=mg（H-2R）-μmgcosθ$ x_AB   
而${x}_{AB}=\frac{H}{sinθ}$   解得：$μ=\frac{3（H-3R）}{4H}$
（3）在Q點的水平速度v_Q平=v_D=$\sqrt{2gR}$
    由垂直撞擊可知滑塊運動到Q時的豎直分速度為：${v}_{Qy}=\frac{4{v}_{Q平}}{3}=\frac{4\sqrt{2gR}}{3}$
   由此可得平拋運動的時間為：t=$\frac{{v}_{Qy}}{g}$=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2R}{g}}$
   平拋運動的水平位移為：${x}_{QF}={v}_{D}t=\frac{8}{3}R$
   平拋運動的豎直分位移為：y_DF=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{16R}{9}$
   Q點的高度：h_QE=2R-y_DF=$\frac{2R}{9}$
   則水平軌道BC的長度：L=${x}_{QF}-\frac{{h}_{QE}}{tan37°}$=$\frac{64}{27}R$
答：（1）滑塊運動到圓形軌道最高點時的速度大小為$\sqrt{2gR}$．
（2）滑塊與斜軌道間的動摩擦因數(shù)為$\frac{3（H-3R）}{4H}$．
（3）水平軌道BC的長度為$\frac{64}{27}R$

點評 本題考查動能定理及豎直面內(nèi)的圓周運動，選擇合適的過程，并注意豎直面內(nèi)圓周運動的臨界條件即可求解