Question

5．某工廠車(chē)間通過(guò)圖示裝置把貸物運(yùn)送到二樓倉(cāng)庫(kù)，AB為水平傳送帶．CD為傾角θ=37°、長(zhǎng)s=3m的傾斜軌道，AB與CD通過(guò)長(zhǎng)度忽略不計(jì)的圓弧軌道平滑連接，DE為半徑r=0.4m的光滑圓弧軌道，CD與DE在D點(diǎn)相切，OE為豎直半徑，F(xiàn)G為二樓倉(cāng)庫(kù)地面（足夠長(zhǎng)且與E點(diǎn)在同一高度），所有軌道在同一豎直平面內(nèi)，當(dāng)傳送帶以恒定速率v=10m/s運(yùn)行時(shí)，把一質(zhì)量m=50kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）由靜止放入傳送帶的A端，貸物恰好能滑入二樓倉(cāng)庫(kù)．已知貨物與傳送帶、傾斜軌道及二樓倉(cāng)庫(kù)地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）貨物在二樓倉(cāng)庫(kù)地面滑行的距離；
（2）傳送帶把貨物從A端運(yùn)送到B端過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能．

Answer 1

分析 （1）貨物剛好到達(dá)E點(diǎn)，則在E點(diǎn)，由重力提供向心力，根據(jù)向心力公式求出E點(diǎn)的速度，再由功能關(guān)系即可求出貨物在二樓倉(cāng)庫(kù)地面滑行的距離；
（2）貨物從B到達(dá)E的過(guò)程中重力和摩擦力做功，由動(dòng)能定理求出貨物到達(dá)B的速度；由牛頓第二定律求出貨物在傳送帶上的加速度，計(jì)算出貨物的速度達(dá)到10m/s的位移，與傳送帶的長(zhǎng)度比較，然后計(jì)算出貨物相對(duì)于傳送帶的位移，最后由功能關(guān)系即可求出產(chǎn)生的內(nèi)能．

解答 解：（1）由題意，貸物恰好能滑入二樓倉(cāng)庫(kù)則在圓軌道的最高點(diǎn)E，恰好由重力提供向心力，得：
mg=$\frac{m{v}_{E}^{2}}{r}$
所以：v_E=$\sqrt{gr}=\sqrt{10×0.4}=2$m/s
貨物到達(dá)倉(cāng)庫(kù)后在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中只有摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：
-μmgs=0-$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：s=1m
（2）貨物從B到達(dá)E的過(guò)程中重力和摩擦力做功，由動(dòng)能定理得：
-mgs•sin37°-μmgs•cos37°-mgr（1+cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v_B=8m/s
貨物在傳送帶上加速時(shí)，沿水平方向的摩擦力提供加速度，由牛頓第二定律得：
ma=μmg
所以：a=μg=0.2×10=2m/s²
貨物從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到速度等于8m/s的過(guò)程中的位移為x，則：
$2ax={v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：x=16m
該過(guò)程中的時(shí)間：t=$\frac{{v}_{B}}{a}=\frac{8}{2}=4$s
該過(guò)程中傳送帶的位移：x′=vt=10×4=40m
貨物相對(duì)于傳送帶的位移：△x=x′-x=40-16=24m
所以傳送帶把貨物從A端運(yùn)送到B端過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能：Q=μmg•△x=0.2×50×10×24=2400J
答：（1）貨物在二樓倉(cāng)庫(kù)地面滑行的距離是1m；
（2）傳送帶把貨物從A端運(yùn)送到B端過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的內(nèi)能是2400J．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理及向心力公式的直接應(yīng)用，知道小滑塊剛好到達(dá)M點(diǎn)，則在M點(diǎn)，由重力提供向心力，注意幾何關(guān)系在解題時(shí)的應(yīng)用，難度適中．