Question

如圖所示，半徑為2R的圓弧軌道AB和半徑為R的圓弧軌道BC相切于B點(diǎn)，兩軌道置于豎直平面內(nèi)，在C點(diǎn)的正上方有一厚度不計(jì)的旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，沿平臺(tái)的一條直徑上開(kāi)有兩個(gè)小孔P、Q，兩孔離軸心等距離，旋轉(zhuǎn)時(shí)兩孔均能到達(dá)C點(diǎn)正上方，平臺(tái)離C點(diǎn)的高度為R，質(zhì)量為2m的小球1自A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落，在B點(diǎn)與質(zhì)量為m的2球作彈性碰撞，碰后2球過(guò)C點(diǎn)，且恰能無(wú)碰撞穿過(guò)小孔P.

（1）兩球第一次碰撞后2球的速度大小

（2）欲使2球能從小孔Q落下，則平臺(tái)的角速度w 應(yīng)滿足什么條件？（不計(jì)所有阻力）

Answer 1

（1）設(shè)小球1在B點(diǎn)速度大小為則滿足：

2mg.2R=2mv₀²-0……….(1分)      得v₀＝＝2……….（1分）

兩球碰撞過(guò)程滿足動(dòng)量守恒和能量守恒,設(shè)兩球碰后速度大小為v₂和v₃，則：

2m v₀＝2 m v₁＋m v₂……….(1分)

且2m v₀²＝2 m v₁²＋m v₂²……..(1分)

所以v₂＝4 v₀／3＝8／3  ………..(1分)

（2）對(duì)碰后B球上升至P的過(guò)程，由能量守恒：ks5u

m v₂²＝m v_P²+2mgR...................(1分)       v_P＝………………(1分)

而小球做豎直上拋的時(shí)間滿足：t＝2v_P／g＝……….(1分)

又因?yàn)?i>t＝（2k＋1）p／w       （k＝0，1，2，3¼）…………………….(2分)

所以角速度w＝（2k＋1）p／t＝（2k＋1）p，（k＝0，1，2，3¼）…….(1分)

（3）要使2球在第二次碰撞后能到達(dá)BC弧的中點(diǎn)，設(shè)碰后2球的速度大小為，則由能量守恒得

     得……………..(1分)

（i）若兩球在B點(diǎn)第二次碰前速度都向左，設(shè)向左為正方向，則碰后2球速度方向可能向左，也可能向右。由動(dòng)量守恒定律：

……………..(1分)

得                  或  

因?yàn)榕銮跋到y(tǒng)能量為  而兩者碰后的能量不能超過(guò)碰前能量，代入數(shù)據(jù)可知，

只有    符合條件�！�…………..(2分)

（ii）若碰前1球速度向右，而2球速度向左，同樣設(shè)向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律可知：

 ……………..(1分)

代入數(shù)據(jù)可得  （因?yàn)榕龊?球與1球速度同向，2球速度大于1球速度，故此解不符合題意，舍去。）……………..(1分)

 或      

 經(jīng)檢驗(yàn)，碰后兩者能量之和為，小于，故此解符合題意�！�…………..(1分)

綜上所述，碰后兩者速度可能為

    ks5u