Question

12．在豎直平面內固定一半徑為R的金屬細圓環(huán)，質量為m的金屬小球（視為質點）通過長為L的絕緣細線懸掛在圓環(huán)的最高點．當圓環(huán)、小球都帶有相同的電荷量Q（未知）時，發(fā)現(xiàn)小球在垂直圓環(huán)平面的對稱軸上處于平衡狀態(tài)，如圖所示．已知靜電力常量為k．則下列說法中正確的是（　�。�

• A． 電荷量Q=$\sqrt{\frac{mg{L}^{3}}{kR}}$
• B． 電荷量Q=$\sqrt{\frac{mg（{L}^{2}-{R}^{2}）{L}^{\frac{3}{2}}}{kR}}$
• C． 線對小球的拉力F=$\frac{mgL}{R}$
• D． 線對小球的拉力F=$\frac{mgR}{\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}$

Answer 1

分析 小球受到的庫侖力為圓環(huán)各點對小球庫侖力的合力，則取圓環(huán)上△x來分析，再取以圓心對稱的△x，這2點合力向右，距離L，豎直方向抵消，只有水平方向；求所有部分的合力Σ△m，即可求得庫侖力的表達式；小球受重力、拉力及庫侖力而處于平衡，則由共點力的平衡條件可求得繩對小球的拉力及庫侖力；則可求得電量．

解答 解：由于圓環(huán)不能看作點電荷，我們取圓環(huán)上一部分△x，設總電量為Q，則該部分電量為$\frac{△x}{2πR}$Q；
由庫侖定律可得，該部分對小球的庫侖力F₁=$\frac{KQ△XQ}{2π{L}^{2}R}$，方向沿該點與小球的連線指向小球；
同理取以圓心對稱的相同的一段，其庫侖力與F₁相同；如圖所示，
兩力的合力應沿圓心與小球的連線向外，大小為2$\frac{KQ△XQ}{2π{L}^{2}R}$×$\frac{\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{L}$=$\frac{K{Q}^{2}△X}{π{L}^{3}R}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}$；
因圓環(huán)上各點對小球均有庫侖力，故所有部分庫侖力的合力F_庫=$\frac{K{Q}^{2}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{π{L}^{3}R}$×πR=$\frac{K{Q}^{2}}{{L}^{3}}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}$，方向水平向右；
小球受力分析如圖所示，小球受重力、拉力及庫侖力而處于平衡，故T與F的合力應與重力大小相等，方向相反；
由幾何關系可得：$\frac{T}{L}$=$\frac{mg}{R}$；
則小球對繩子的拉力T=$\frac{mgL}{R}$；

$\frac{F}{\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}$=$\frac{mg}{R}$；
則F=$\frac{mg}{R}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}$=$\frac{K{Q}^{2}}{{L}^{3}}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}$；
解得Q=$\sqrt{\frac{mg{L}^{3}}{kR}}$； 故AC正確，BD錯誤；
故選：AC．

點評 因庫侖定律只能適用于真空中的點電荷，故本題采用了微元法求得圓環(huán)對小球的庫侖力，應注意體會該方法的使用．
庫侖力的考查一般都是結合共點力的平衡進行的，應注意正確進行受力分析．