Question

如圖所示，一根長為L=

3

m的均勻細(xì)桿，可繞左端的水平軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿最初處于水平位置，在桿中點(diǎn)處放有一可視為質(zhì)點(diǎn)的靜止小物體，小物體的質(zhì)量為m=0.2kg．若此桿突然以角速度ω沿順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且要求桿與小物體分開后再次接觸．求：
（1）再次接觸時(shí)小物體所能獲得的最大動(dòng)能．
（2）桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）桿再次接觸物體的臨界位置就是桿的端點(diǎn)正好在小物體的正下方，此時(shí)桿與水平方向的夾角正好為

π

3

，求此時(shí)小物體的動(dòng)能；
（2）根據(jù)桿的位置和轉(zhuǎn)動(dòng)的周期性，即轉(zhuǎn)過的角度為0＜θ＜

π

3

或2π＜θ＜

7π

3

求出角速度的范圍．

解答：解：（1）如圖，物體與桿能再次接觸的臨界狀態(tài)，

根據(jù)幾何關(guān)系可得：h=

L2-( L 2 )2

=

3

2

L
小物體自由下落的過程中使用動(dòng)能定理有：mgh=△E_k=E_k2 
即小物體的最大動(dòng)能  E_k2=0.2×10×

3

2

3

J=3J   
（2）若在桿轉(zhuǎn)過

π

3

角范圍內(nèi)接觸，最長時(shí)間為
t=

2h g

=

3 10

s    
 角速度ω1=

θ1

t

=1.9rad/s 
即桿的桿速度滿足：
0＜ω₁≤1.9rad/s                 
若時(shí)間t內(nèi)桿轉(zhuǎn)過角度＞π弧度也能再次接觸小物體，根據(jù)幾何關(guān)系此時(shí)轉(zhuǎn)過的最大角度為θ2=

7π

3

角速度至少為
ω2=

θ2

t

=(

π

3

+2π)

10 3

rad/s=13.4rad/s
即滿足ω₂＞13.4rad/s
答：（1）再次接觸時(shí)小物體所能獲得的最大動(dòng)能為3J．
（2）桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω的取值范圍為：0＜ω₁≤1.9rad/s  或ω₂＞13.4rad/s

點(diǎn)評：構(gòu)建物體與桿兩次碰撞的模型并能知道能發(fā)生兩次碰撞的臨界條件并展開討論即可．注意圓周運(yùn)動(dòng)的同期性帶來的多解問題．