Question

13．兩顆靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠，它們以其連線上某-點O為圓心各自做勻速圓周運動時，兩者的距離保持不變，科學家把這樣的兩個天體稱為“雙星”，如圖所示．設雙星的質量分別為m₁和m₂，它們之間的距離為L．求雙星運行的周期T．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進一步計算軌道半徑大�。粨�(jù)萬有引力提供向心力計算出周期．

解答 解：設雙星中質量為m₁的天體軌道半徑為r₁，質量為m₂的天體軌道半徑為r₂
據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，得：
$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{ω}^{2}{r}_{1}$…①
$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}{ω}^{2}{r}_{2}$…②
r₁+r₂=L…③
由①②③聯(lián)立解得：
${r}_{1}=\frac{{m}_{2}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
${r}_{2}=\frac{{m}_{1}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，
再由：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{（\frac{2π}{T}）}^{2}{r}_{1}$，
得：
運行的周期T=$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．
答：雙星運行的周期為$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．