Question

11．宇航員在某星球表面讓一個(gè)小球以v₀的速度做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回到拋出點(diǎn)，萬(wàn)有引力常量為G，若忽略星球自傳．
（1）求該星球表面附近的重力加速度g；
（2）已知該星球的半徑為R，求該星球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由速度時(shí)間公式求出月球表面的重力加速度；
（2）忽略球體自轉(zhuǎn)的影響，萬(wàn)有引力和重力相等求解中心天體的質(zhì)量，再根據(jù)$ρ=\frac{m}{V}$求解天體密度．

解答 解：（1）小球豎直上拋后做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，取豎直向上為正方向，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：$v={v}_{0}^{\;}+at$
代入數(shù)據(jù)：$0={v}_{0}^{\;}+（-g）\frac{t}{2}$
解得：$g=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$
（2）設(shè)某星球的質(zhì)量為M，忽略星體和地球的自轉(zhuǎn)，表面的物體受到的萬(wàn)有引力等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
該星球的密度為$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{v}_{0}^{\;}}{2πGRt}$
答：（1）求該星球表面附近的重力加速度g為$\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$；
（2）已知該星球的半徑為R，求該星球的密度ρ為$\frac{3{v}_{0}^{\;}}{2πGRt}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，該理論運(yùn)用比較廣泛，所以將$GM=g{R}_{\;}^{2}$稱為“黃金代換式”