Question

10．一個質(zhì)量為m=0.5kg的煤炭輕輕放到一個長度為s=5.8m且傾角為37°的傳送帶上．已知傳送帶以v=4m/s速度逆時針運動，已知物體與傳送帶的動摩擦因數(shù)μ=0.5求：
（1）煤炭在傳送帶上運動的總時間為多長？
（2）傳送帶上留有的煤炭劃痕有多長？

Answer 1

分析 （1）物塊輕輕放到傳送帶上，受重力、支持力和沿斜面向下的滑動摩擦力，做勻加速直線運動．當煤炭的速度達到v=4m/s，由于煤炭不能跟傳送帶保持相對靜止，受重力、支持力和沿斜面向上的滑動摩擦力，做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律求出兩段勻加速直線運動的加速度，根據(jù)運動學公式求出運動的總時間．
（2）求出在整個過程中煤塊和傳送帶的位移，兩個位移之差為煤炭的劃痕長度．

解答 解：（1）煤塊放上傳送帶后向下做勻加速運動，加速度為 a₁=$\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}$=g（sin37°+μcos37°）=10×（0.6+0.5×0.8）=10m/s²
勻加速運動至速度與傳送帶相等時所用的時間 t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{10}$s=0.4s  
位移 x₁=$\frac{v{t}_{1}}{2}$=$\frac{4×0.4}{2}$m=0.8m＜s=5.8m
因為mgsin37°＞μmgcos37°，所以煤炭的速度與傳送帶速度相等后，繼續(xù)做勻加速直線運動，加速度為
   a₂=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=g（sin37°+μcos37°）=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²
速度相等后勻加速運動的位移 x₂=s-x₁=5.8m-0.8m=5m
由運動學公式得
  x₂=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²，
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=1s
故煤炭在傳送帶上運動的總時間為 t=t₁+t₂=1.4s
（2）速度相等前，煤塊相對于傳送帶向后滑．
在第一個運動過程中，傳送帶的位移  x₁′=vt₁=4×0.4=1.6m
則傳送帶與煤炭的相對位移△x₁=x₁′-x₁=1.6m-0.8m=0.8m
速度相等后，煤塊相對于傳送帶向前滑．
此過程，傳送帶的位移 x₂′=vt₂=4×1=4m
兩者的相對位移△x₂=x₂-x₂′=5-4=1m
綜合兩式知，煤塊先相對于傳送帶向后滑0.8m，又相對于傳送帶向前滑1m，故在傳送帶上留有的煤炭劃痕為1m．
答：
（1）煤炭在傳送帶上運動的總時間為1.4s．
（2）傳送帶上留有的煤炭劃痕有 1m長．

點評 解決本題的關鍵理清煤炭的運動情況，根據(jù)受力去求運動，加速度是聯(lián)系力和運動的橋梁．要知道傳送帶上留有的煤炭劃痕為煤炭相對于傳送帶的位移．