Question

12．如圖所示，質量為m=2kg的物塊放在一固定斜面上，斜面長L=11m，當斜面傾角為37°時物塊恰能沿斜面勻速下滑．現對物體施加一大小為F=100N的水平向右恒力，可使物體從斜面底端由靜止開始向上滑行，求（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）物塊在F力作用下從斜面底端運動到頂端所需的時間；
（2）若要在F力作用下保證物塊可以從斜面底端運動到頂端，則該力作用的最短時間是多少？
（3）設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當斜面傾角增大并超過某一臨界角θ₀時，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，試求這一臨界角θ₀的大小（可用三角函數表示）

Answer 1

分析 （1）物體勻速下滑時受力平衡，按重力、彈力和摩擦力順序進行受力分析，根據共點力平衡條件并結合正交分解法列方程，同時結合摩擦力公式求解動摩擦因素μ；
由牛頓第二定律即可求得到頂所需時間；
（2）要使時間最短，應先加速后減速，到達最高點時速度恰好為零；根據勻變速直線運動的公式進行分析求解；
（3）物體沿斜面勻速上升，根據平衡條件列方程，可求得推力F的大�。�

解答 解：（1）物體勻速下滑時，受力如下圖所示：

根據平衡條件得：
mgsin37°=f₁
N₁=mgcos37°
又 f₁=μN₁
所以μ=tan37°=$\frac{3}{4}$
物體沿斜面上升，受力如圖所示：

則有Fcos37°-μ（Fsin37°+mgcos37°）-mgsin37°=ma
解得：a=5.5m/s²；
由位移公式x=$\frac{1}{2}$at²可得：t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=2s；
（2）當物體到達頂端速度恰好為零時，F的作用時間最短；
撤去拉力后，物體的加速度a₂=gsinθ+μgcosθ=12m/s²；
設F作用時間為t，則有：$\frac{1}{2}$at²+$\frac{（at）^{2}}{2{a}_{2}}$=11
解得：t=7.4s；
（3）設斜面的傾角為α，根據（2）可知，$F=\frac{mgsinα+μmgcosα}{cosα-μsinα}$，
當cosα-μsinα=0時，F→∞，即無論用多大的力都不能使物體沿斜面上滑，可解得臨界角tanθ₀=tanα=$\frac{1}{μ}$=$\frac{4}{3}$，
這一臨界角θ₀的正切值為$\frac{4}{3}$
答：（1）物塊在F力作用下從斜面底端運動到頂端所需的時間2s；
（2）該力作用的最短時間是7.4s；
（3）這一臨界角θ₀的大小為60°．

點評 本題是力平衡問題，關鍵是分析物體的受力情況，作出受力的示意圖，要培養(yǎng)良好的作圖習慣，注意結合正交分解法列方程求解．