Question

4．細(xì)桿AB長(zhǎng)L，兩端分別約束在x、y軸上運(yùn)動(dòng)
（1）試求桿上與A點(diǎn)相距aL（0＜a＜L）的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；
（2）如果v_A為已知，試求P點(diǎn)的x、y向分速度v_Px和v_Py對(duì)桿方位角θ的函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），列式求解出x、y與角度的關(guān)系式，然后消去參數(shù)θ即為P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）P點(diǎn)的軌跡是圓，速度是切線方向，畫出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系得到P點(diǎn)速度方向與桿的方向的夾角，P點(diǎn)的速度沿著桿方向的分速度與A點(diǎn)速度沿著桿方向的分速度相等．

解答 解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
寫出參數(shù)方程得：x=aLsinθ，y=（1-a）Lcosθ
消去參數(shù)θ得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（1-a）^{2}}={L}^{2}$
故P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓；
（2）以A點(diǎn)為參考點(diǎn)，則桿上的各點(diǎn)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，但鑒于桿上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況如圖：

得：v_牽=v_Acosθ，${v}_{轉(zhuǎn)}={v}_{A}•\frac{co{s}^{2}θ}{sinθ}$
可得B端相對(duì)于A的轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度為：${v}_{轉(zhuǎn)}+{v}_{A}sinθ=\frac{{v}_{A}}{sinθ}$
所以P點(diǎn)的線速度為：${v}_{線}=\frac{a•{v}_{A}}{sinθ}$
所以：v_Px=v_線cosθ+v_Ax=a•v_Actgθ
v_Py=v_Ay-v_線sinθ=（1-a）v_A
答：（1）桿上與A點(diǎn)相距aL（0＜a＜L）的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{（1-a）^{2}}={L}^{2}$；
（2）如果v_A為已知，P點(diǎn)的x、y向分速度v_Px和v_Py對(duì)桿方位角θ的函數(shù)分別為：v_Px=v_線cosθ+v_Ax=a•v_Actgθ和v_Py=v_Ay-v_線sinθ=（1-a）v_A．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及運(yùn)動(dòng)的合成與分解，是高中物理競(jìng)賽的經(jīng)典試題之一，關(guān)鍵是采用運(yùn)動(dòng)的合成與分解以及參數(shù)方程的方法進(jìn)行研究，找出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向是關(guān)鍵．難度比較大，一般學(xué)生不建議做這一類的題目．