(2012年四月天津武清區(qū)一模)2010年上海世博會某國家館內(nèi),有一“發(fā)電”地板,利用游人走過此處,踩踏地板發(fā)電。其原因是地板下有一發(fā)電裝置,如圖l所示,裝置的主要結(jié)構(gòu)是一個截面半徑為r、匝數(shù)為n的線圈,緊固在與地板相連的塑料圓筒P上。磁場的磁感線沿半徑方向均勻分布,圖2為橫截面俯視圖。輕質(zhì)地板四角各連接有一個勁度系數(shù)為k的復(fù)位彈簧(圖中只畫出其中的兩個)。當?shù)匕迳舷峦颠\動時,便能發(fā)電。若線圈所在位置磁感應(yīng)強度大小為B,線圈的總電阻為R0,現(xiàn)用它向一個電阻為R的小燈泡供電。為了便于研究,將某人走過時地板發(fā)生的位移一時間變化的規(guī)律簡化為圖3所示。(取地板初始位置x=0,豎直向下為位移的正方向,且彈簧始終處在彈性限度內(nèi)。)

(1)取圖2中逆時針方向電流為正方向,請在圖4所示坐標系中畫出線圈中感應(yīng)電流i隨時間t變化的圖線,并標明相應(yīng)縱坐標。要求寫出相關(guān)的計算和判斷過程。

(2)t= t0/2時地板受到的壓力。

(3)求人踩踏一次地板所做的功。

解:(1)0~t0時間,地板向下做勻速運動,其速度v=x0/t0,線圈切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢e=nB·2πrv=2nBπrx0/t0,感應(yīng)電流i= e/R=2nBπrx0/Rt0;0~t0時間,地板向下做勻速運動,其速度v=x0/t0,線圈切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢e=-nB·2πrv=-2nBπrx0/t0,感應(yīng)電流i= e/R=-2nBπrx0/Rt0;

(2)t= t0/2時,地板向下位移x0/2,彈簧彈力kx0/2,安培力為nBi2πr=2nBiπr,

由平衡條件可知,地板受到的壓力F= kx0/2+2nBiπr。

(3)由功能關(guān)系可得人踩踏一次地板所做的功W=2i2R t0=4n2B2π2r2x02/Rt0。

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