Question

2．為紀(jì)念“光纖之父”、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者華裔物理學(xué)家高錕的杰出貢獻(xiàn)，早在1996年中國(guó)科學(xué)院紫金山天文臺(tái)就將一顆于1981年12月3日發(fā)現(xiàn)的國(guó)際編號(hào)為“3463”的小行星命名為“高錕星”．已知“高錕星”半徑為R，其表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，在不考慮自轉(zhuǎn)的情況，求：（以下結(jié)果均用字母表達(dá)即可）
（1）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運(yùn)行的第一宇宙速度；
（2）假設(shè)某衛(wèi)星繞“高錕星”做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且運(yùn)行周期為T，求該衛(wèi)星距地面的高度；
（3）假設(shè)“高錕星”為一均勻球體，試求“高錕星”的平均密度（球體積V=$\frac{4}{3}$πR³）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力提供向心力求出衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運(yùn)行的第一宇宙速度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，求出衛(wèi)星的軌道半徑，從而得出衛(wèi)星距離地面的高度．
（3）結(jié)合“高錕星”的質(zhì)量，求出密度的大小．

解答 解：（1）衛(wèi)星貼近“高錕星”表面運(yùn)行時(shí)運(yùn)行速度為第一宇宙速度，
根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$．
（2）設(shè)“高錕星”質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，依題意有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
GM=gR²
又r=R+h，
聯(lián)立解得衛(wèi)星距地面高度h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（3）由$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$得，M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
則密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πRG}$．
答：（1）衛(wèi)星環(huán)繞“高錕星”運(yùn)行的第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$；
（2）該衛(wèi)星距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）“高錕星”的平均密度為$\frac{3g}{4πRG}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．